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Balkentheorie

Balkentheorie

Die Balkentheorie beschreibt das Verhalten von Balken unter Belastung. Sie ist ein Teilgebiete der Technischen Mechanik, speziell der Festigkeitslehre, der Elastizitätstheorie und der Statik. Zur Anwendung kommt die Balkentheorie in vielen Ingenieurwissenschaften, beispielsweise
- Bauingenieurwesen
- Maschinenbau
- Schiffbau
- Luft- und Raumfahrttechnik bzw. Flugzeugbau.

Voraussetzungen

Die Balkentheorie befasst sich mit der Berechnung von Bauteilen mit folgenden Merkmalen, die als Balken bezeichnet werden:
- Ein Balken ist ein stabförmiges Tragglied, das durch Lasten längs und quer zu seiner Achse belastet werden kann. Die Reaktion des Balkens auf die Belastungen sind Dehn- Biege-, Schub-, Wölb-, Drill- und Querverformungen verbunden mit Schnittkräften, in denen die inneren Spannungen in geeigneter Weise zusammengefasst werden.
- Solange nur die Verformung in eine Richtung (y als Funktion von x) betrachtet wird, ist die Abmessung in die dritte Dimension (z) irrelevant: die Theorie gilt in diesem Sonderfall auch für eine Platte und umfasst dabei als wichtigen Anwendungsfall das Regalbrett.
- Bei einem Balken im engeren Sinne ist die Achse im unbelasteten Zustand gerade, obwohl man auch Bögen mit einer entsprechend erweiterten Form der Balkentheorie berechnen kann.
- Ein Balken im engeren Sinne besteht aus elastischem Werkstoff, beispielsweise Stahl oder Stahlbeton, obwohl man auch viele andere Werkstoffe näherungsweise so berechnen kann, als seien sie elastisch. Ein Balken verhält sich biegesteif. Seile verhalten sich näherungsweise biegeschlaff und sind deshalb keine Balken.
- Die Belastung des Balkens erfolgt quer zu seiner Achse, so dass er sich durchbiegt. Wenn das Bauteil nur längs zu seiner Achse belastet wird (Zug/Druck, Torsion) und nicht ausknickt, nennt man es nicht Balken, sondern Stab. Wenn das Bauteil zwar nur längs belastet wird, aber bei Stabilitätsversagen seitlich ausknickt, nennt man es zwar Knickstab und nicht Knickbalken, aber es wird mit einer erweiterten Form der Balkentheorie (Theorie Zweiter Ordnung) berechnet.
- Im engeren Sinne versteht man unter einem Balken einen Euler-Bernoulli-Balken. Dabei gilt die Hypothese: Querschnitte, die ursprünglich rechtwinklig zur Nullinie sind, bleiben bei der Verformung eben. Bei reiner Biegung (M = const) bleiben die Querschnitte außerdem auch senkrecht auf der Nullinie, weil die Biegelinie dann ein Kreis ist und die Querschnittsebene mit dem Kreisradius zusammenfällt. In allen anderen Fällen ist die Querschnittsebene um den Schubwinkel gedreht. Dies wird z.B.durch eine allgemeinere und kompliziertere Balkentheorie zu erfassen versucht, nämlich die Theorie der Timoshenko-Balken. Diese berücksichtigt die Schubverformung der Querschnittsebene. Die Balkentheorie bezieht sich auch auf Bauteile, die aus einzelnen Balken zusammengesetzt sind.

Grundzüge der Theorie

Näherungsschritte

Allgemein unterscheidet man
- Balkentheorie Erster Ordnung: Es wird näherungsweise am unverformten Balken ein Balkenelement betrachtet und die Kräfte und Momente bilanziert. Sie genügt fast immer.
- Balkentheorie Zweiter Ordnung: Es wird am verformten Balken ein Balkenelement betrachtet, jedoch wird das mathematische Modell linearisiert. Sie wird für Stabilitätsprobleme benötigt, sowie für große Durchbiegungen bei Neigungswinkeln bis ca. 20°.
- Balkentheorie Dritter Ordnung: Es wird am verformten Balken ein Balkenelement betrachtet, und das mathematische Modell wird nicht linearisiert. Sie wird in Sonderfällen benötigt, bei sehr großen Durchbiegungen und Neigungswinkeln über ca. 20°.

Theorie Erster Ordnung: Statik

Timoshenko-Balken Timoshenko-Balken

statisch bestimmt

Bei statisch bestimmt gelagerten Balken lassen sich die Auflagerkräfte und Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Statisch bestimmte Balken besitzen in Längsrichtung ein festes Auflager und ein längsbewegliches Auflager oder sind an einem Balkenende eingespannt. Als "fest" bezeichnet man ein Auflager dann, wenn es horizontal gehalten wird und somit Horizontalkräfte übertragen kann. Ein bewegliches Auflager kann sich dagegen horizontal verschieben und somit keine Kräfte in dieser Richtung abtragen.

statisch unbestimmt

Bei statisch unbestimmt gelagerten Balken sind zusätzlich zu den Gleichgewichtbedingungen auch Verträglichkeitsbedingungen zu erfüllen, um die die Auflagerkräfte und Schnittgrößen bestimmen zu können. Statisch unbestimmte Balken besitzen beliebig viele Auflager oder Einspannungen. Im einfachsten Fall wird ein Balken anhand der folgenden linearen inhomogenen Differentialgleichung berechnet. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen der Durchbiegung w (in y-Richtung) und der Streckenlast (Gewicht pro Strecke) q als Funktion der Koordinate x entlang der Balkenachse her. :

EI\,w'(x) = q(x).

Die Biegesteifigkeit EI setzt sich zusammen aus dem Elastizitätsmodul E des Materials und dem Flächenträgheitsmoment I des geometrisch gegebenen Querschnitts. Letzteres berechnet sich als :

I=\int y^2 yz

. Für einen Balken mit rechteckigem Querschnitt h·b (in y- respektive z-Richtung) ist :

I=.

Rand- und Übergangsbedingungen ergeben sich aus der Art der Auflager und bestehen aus kinematischen Randbedingungen und aus dynamischen (Kräfte und Momente betreffenden) Randbedingungen. Für die dynamischen Randbedingungen ist relevant, welcher Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten besteht, nämlich Biegemoment: :

M(x) = -EI\,w

(x) Querkraft: : $Q(x) = -EI\,w(x)$ Das Biegemoment setzt sich aus Biegespannungen zusammen, dies sind in axialer Richtung wirkende Spannungen mit einer linearen Verteilung zwischen Druckfaser und Zugfaser: : $\sigma_B(z) = \frac z$ Darin ist I das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die Achse, um die das Biegemoment dreht. Den Kennwert z/I beim maximalen z (an der äußersten Faser des Querschnitts) nennt man auch Widerstandsmoment. Daraus folgt ein recht bekanntes Ergebnis: die Tragfähigkeit eines Balkens ist proportional zu I/h=bh². Widerstandsmoment Im Falle unsymmetrischer Querschnitte muss das Koordinatensystem in Richtung der Haupttägheitsachsen gedreht werden, damit man die Biegung in beiden Richtungen getrennt voneinander berechnen kann. Beispiel: wenn ein L-Profil von oben belastet wird, kann es sich auch nach vorn oder hinten durchbiegen. Nur in Richtung einer Hauptträgheitsachse biegt sich ein Balken in Richtung der Belastung und nicht quer dazu. Wie stark sich ein Balken verbiegt, hängt ferner sehr stark von der Position der Auflager ab; bei gleichmäßiger Belastung q(x)=const erhält man aus der Differentialgleichung als optimale Lagerpositionen die Bessel-Punkte.
Theorie Erster Ordnung: Dynamik
Bis hier wurde nur die Statik behandelt. Die Balkendynamik, etwa um Balkenschwingungen zu berechnen, basiert auf der Gleichung : $EI\,w'(x,t) + b\,\dot(x,t) + m\,\ddot(x,t)= q(x,t)$ Das Problem hängt hier nicht nur vom Ort x, sondern zusätzlich von der Zeit t ab. Es kommen zwei weitere Parameter des Balkens hinzu, nämlich die Massenverteilung m (in kg/m) und die Strukturdämpfung b. Wenn das Bauteil unter Wasser schwingt, beinhaltet m auch die hydrodynamische Masse, und in b kann man eine linearisierte Form der hydrodynamischen Dämpfung einbeziehen, siehe Morison-Gleichung.
Theorie Zweiter Ordnung: Knickstab
Während bisher die Kräfte und Momente näherungsweise am unverformten Bauteil bilanziert wurden, ist es im Falle von Knickstäben erforderlich, ein Balkenelement im verformten Zustand zu betrachten. Knickstab-Berechnungen basieren auf der Gleichung : $EI\,w'(x) + N\,w$ (x) = q(x) und zwar im einfachsten Fall mit q=0. Hinzu kommt die axial im Knickstab wirkende Druckkraft N, die je nach Randbedingungen die Knicklast nicht überschreiten darf, damit der Stab nicht ausknickt.

Theorie Dritter Ordnung

Ein Anwendungsfall, bei dem Balkentheorie Dritter Ordnung nötig wird, ist z.B. das Verlegen von Offshore-Pipelines von einem Wasserfahrzeug aus in großen Wassertiefen, hier nur als ebener statischer Fall wiedergegeben. Ein sehr langer Rohrstrang hängt vom Fahrzeug zum Meeresboden herunter, ist gekrümmt wie ein Seil, jedoch biegesteif. Die nichtlineare Differentialgleichung lautet hier :

EI\,\varphi

(s) - H\,\sin\varphi(s) + (ws-V) \cos\varphi(s) = 0 Die Koordinate heißt hier nicht mehr x, sondern s. Das ist die Bogenlänge entlang der Pipeline. H ist die entlang der Pipeline konstante Horizontalkomponente der Schnittkraft (Horizontalzug) und wird dadurch beeinflusst, wie stark das Fahrzeug mit seinen Ankern und dem Tensioner an der Pipeline zieht, damit sie nicht durchsackt und bricht. Der Tensioner ist eine Vorrichtung aus zwei Raupenketten, die die Pipeline an Bord einspannt und sie unter Zugbelastung hält. w ist das Gewicht pro Länge abzüglich Auftrieb. V ist eine Rechengröße, die man sich als kleine Bodenauflagerkraft vorstellen kann. Die Geometrie wird durch den Neigungswinkel $\varphi$ beschrieben, der mit der Horizontalkoordinate x(s) und der Vertikalkoordinate z(s) in folgendem Zusammenhang steht: : $\partial x(s)/\partial s = \cos\varphi(s)
\quad\quad\quad
\partial z(s)/\partial s = \sin\varphi(s)$
Geschichte
Nach qualitativen Vorarbeiten von Leonardo da Vinci wurde die Balkentheorie von Galileo Galilei begründet. Er ordnete die Neutralfläche allerdings fehlerhaft an der Unterseite des Balkens an. Knickstäbe wurden erstmals von Leonhard Euler betrachtet.
Literatur

- Gross, Hauger, Schnell: Technische Mechanik Band 1-3. Springer
- Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, 1999
- Gummert, Reckling: Mechanik. Vieweg, 1994
Weblinks

- [http://www.sandwichbau.com/German/library/biegetheorie.htm] Zur Geschichte der Biegetheorie Kategorie:Technische Mechanik

Verhalten
Verhalten kann, je nach Zusammenhang, folgende Bedeutungen haben:
- In der Systemtheorie spricht man ganz allgemein vom Verhalten eines Systems, wenn es von einem Zustand in einen anderen übergeht: siehe Systemverhalten;
- Die Soziologie bezeichnet mit Verhalten jede Interaktion, die sich zwischen einem Organismus und seinen Artgenossen in Form einer Austauschbeziehung abspielt: siehe Sozialverhalten;
- In der Pädagogik spricht man häufig von sozialem Verhalten, da Verhalten von seinen gesellschaftlichen Folgen abhängig ist und in der Umwelt selbst etwas bewirkt;
- In der Psychologie hat die einflussreiche Schule der Gestaltpsychologie beziehungsweise die Gestalttheorie eine ganzheitlich-phänomenologische Auffassung von Verhalten entwickelt. Hier ist insbesondere die psychologische Feldtheorie von Kurt Lewin zu nennen. Ihr zufolge ist das menschliche Verhalten eine psychologische Funktion von erlebter Person und erlebter Umwelt. Abraham Maslow unterscheidet bewältigendes, erlerntes und bewusstes Verhalten und spontanes, unkontrolliertes expressives Verhalten.
- In der Verhaltensforschung umfasst biologisches Verhalten alle Aktivitäten und körperlichen Reaktionen eines Menschen oder Tieres, die sich beobachten oder messen lassen. Eine Übersicht über wichtige Fachbegriffe der Verhaltensforschung findest Du HIER, und eine Übersicht über bedeutende Verhaltensforscher findest Du HIER.
- In der Unified Modeling Language 2.0 bezeichnet Verhalten/UML2 die dynamischen Aspekte eines modellierten Systems. Siehe auch: Konditionierung, Verhaltensexzess, Gedächtnistransfer

Belastung

Das Wort Belastung kommt in verschiedenen Bedeutungen vor: #in der Physik bzw. Statik, siehe Belastung (Physik) #im Recht im Sinne von Belastung des Eigentums, insbesondere an Grundstücken, mit einem beschränkten dinglichen Recht, zum Beispiel einer Hypothek, siehe Belastung (Eigentum) #im Alltagsleben von Menschen, siehe Belastung (Psychologie) #siehe auch Last

Technische Mechanik

Definition

Die Technische Mechanik ist eine Ingenieurwissenschaft, deren naturwissenschaftliche Grundlage die klassische Mechanik ist. Gegenstand der Technischen Mechanik sind
- die Gesetze der klassischen Mechanik, speziell die Mechanik fester Körper,
- spezifische und rationelle Methoden der Analyse technischer Systeme,
- mathematische Modelle physikalischer Körper und ihr Zusammenhang mit den Verhaltensweisen realer Systeme,
- Kriterien zur Beurteilung der Funktionsweise realer Systeme, ihrer Sicherheit gegen Bruch und Verlust der Stabilität.

Teilgebiete

Die Einteilung der Technischen Mechanik ist nicht überall einheitlich. I. allg. können als Teilgebiete der Technischen Mechanik gelten:
- Statik starrer Körper,
- Elastizitätstheorie (Statik elastischer Körper),
- Festigkeitslehre,
- Dynamik (Mechanik bewegter Körper),
- Kinematik
- Kinetik
- Schwingungslehre,
- Stabilitätstheorie. Im wesentlichen kann man den Bereich der Technischen Mechanik auf die Untersuchung der Bewegung von Festkörpern eingrenzen, wobei dem Grenzfall der Ruhe ähnlich wie in der Mathematik der Natürlichen Zahl Null eine ganz spezielle Bedeutung zugemessen wird. Die Thermodynamik und die Fluidmechanik bzw. Strömungslehre gelten trotz ihres eindeutig technischen Bezuges gewöhnlich nicht als Bestandteile der Technischen Mechanik. Das Aufgabengebiet der Technischen Mechanik ist die Bereitsstellung der theoretischen Berechnungsverfahren beispielsweise für den Maschinenbau und der Baustatik, wo der konstruierende Ingenieur immer wieder mit zwei Grenzfällen konfrontiert wird:
- Widerstand der Konstruktion hinsichtlich der Auftretenden Belastungen
- Wirtschaftlichkeit der Konstruktion hinsichtlich des Materialeinsatzes der eingesetzten Mittel Ein weiteres spezielles Aufgabengebiet der Technischen Mechanik ist die Ballistik.

Geschichte

Die Technische Mechanik ist eine sehr alte Wissenschaft und wurde bereits von Archimedes betrieben, jedoch sind analytisch verwertbare Erkenntnisse erst aus der Zeit der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts überliefert. Die damaligen Mathematiker wurden von den anschaulichen Gesetzen der Mechanik zu ihren neuen Erkenntnissen inspieriert, gleichzeitig entdeckten sie eine Reihe neuer Erkenntnisse und mathematischer Gesetzmäßigkeiten der Technischen Mechanik. In den folgenden Jahrhunderten wurden ihre Theorien in die Technik eingeführt und praktisch umsetzbar gemacht, während weitere theoretische Erkenntnisse folgten:
- Archimedes (ca. 287 bis 212 v. Chr.): Hebelgesetze
- Galileo Galilei (1564 bis 1642): Fallgesetze ("Discorsi" 1638)
- Christiaan Huygens (1629 bis 1695) Stoßtheorie, Pendelbewegung
- Robert Hooke (1629 bis 1703): Hookesches Gesetz
- Isaac Newton (1643 bis 1727): Bewegungsgesetze, Gegenwirkungsprinzip, Gravitationsgesetz ("Principia": 1686), Stoßtheorie
- Leonhard Euler (1707 bis 1783): Impulssatz und Momentensatz (Drehimpulssatz), Balkenbiegung und Knicken
- Jean Baptiste le Rond d'Alembert (1717 bis 1783) D'Alembertsches Prinzip
- Joseph-Louis Lagrange (1736 bis 1813) Lagrangefunktion und Lagrangesche Bewegungsgleichungen
- Claude Louis Marie Henri Navier (1785 bis 1836) Elastizitätstheorie, Theorie der Balkenbiegung in der heutigen Form
- Augustin Louis Cauchy (1789 bis 1857) Elastizitätstheorie, Spannungsbegriff
- Luigi Federico Menabrea (1809 bis 1896) Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie
- Karl Culmann (1821 bis 1881) Arbeiten zur Graphostatik (u.a. "Culmannsche Gerade")
- Gustav Robert Kirchhoff (1824 bis 1887) Plattentheorie
- August Ritter (1826 bis 1908) grafische Berechnungsmethoden (Rittersches Schnittverfahren)
- Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona (1830 bis 1903) Arbeiten zur Graphostatik (Cremonaplan)
- Christian Otto Mohr (1835 bis 1918) Arbeiten zur Graphostatik, Mohrscher Spannungskreis, Mohrscher Trägheitskreis
- Carlo Alberto Castigliano (1847 bis 1884) Sätze von Castigliano
- Carl von Bach (1847 bis 1931) Begründer der Festigkeitslehre ("Lastfälle nach Bach")
- August Föppl (1854 bis 1924) Kreiseltheorie, Schwingungslehre
- Heinrich Rudolf Hertz (1857 bis 1894) Theorie der Härte (Hertzsche Pressung)
- Arnold Sommerfeld (1868 bis 1951) Maschinendynamik, Schwingungslehre
- Georg Hamel (1877 bis 1954) Axiomatischer Aufbau der klassischen Mechanik
- Richard Grammel (1889 bis 1964) Maschinendynamik, Schwingungslehre,Kreiseltheorie
- Kurt Magnus (1912 bis 2003) Kreiseltheorie
- John Argyris (1913 bis 2004) Mitbegründer der Finite-Elemente-Methode Viele der genannten Personen haben auch auf anderen Gebieten große Verdienste erworben (z.B. in der Hydromechanik, Optik, Elektrotechnik, Relativitätstheorie und Quantenmechanik). Auf diese Leistungen wurde hier nicht eingegangen.

Weblinks

- b:Die Mechanik starrer Körper Wikibook
- b:Die Mechanik realer Körper Wikibook
- b:Dynamik Wikibook
- http://en.wikibooks.org/wiki/Solid_Mechanics engl. Wikibook zum Thema Festkörpermechanik
- http://www.htwm.de/pwill Anleitungen und Hinweise zur techn. Mechanik !

Elastizitätstheorie

Das Hookesche Gesetz (nach Sir Robert Hooke) besagt, dass eine elastische Deformation

\varepsilon

eines Körpers linear proportional zur anliegenden Spannung

\sigma

ist. Der Proportionalitätsfaktor

E

wird Elastizitätsmodul genannt. Er ist eine Werkstoffkonstante. Für einen prismatischen Körper der Länge

L

und dem Querschnitt

A

gilt demzufolge: :

\sigma = E \cdot \varepsilon

oder :

\Delta L = \frac \times F \times \frac   = \frac \times L \times \sigma

Das Hookesche Gesetz gilt nur für lineare elastische Deformationen. Diese Bedingung ist in der Regel für kleine Deformationen erfüllt. Bei Deformationen oberhalb der so genannten Proportionalitätsgrenze werden die Verformungen nicht-linear, d.h. die Verzerrung

\varepsilon

ist nicht mehr proportional zur Verspannung

\sigma

, die Verformung kann aber dennoch reversibel sein. Hier gelten abgewandelte Materialmodelle, die durch eigene Elastizitätstensoren (z.B. sog. Neo-Hooke'sches Materialmodell oder nach Mooney-Rivlin) beschrieben werden. Erst für noch größere Deformationen wird die Verformung irreversibel (plastische Deformation), und es findet keine vollständige Rückformung beim Nachlassen der Spannung statt. Das Hookesches Gesetz wird nahezu ausschließlich in seiner klassischen Formulierung verwendet. Eine relativistisch invariante Formulierung wurde von Gron Tudor Jones kurz nach der Entdeckung der speziellen Relativitättheorie entwickelt. Motiviert wird dies durch das Bellsche Raumschiffparadoxon [http://www.hjp.at/science/rt/rt-kurs4.html].

Verallgemeinertes Hookesches Gesetz

Im allgemeinen Fall wird das Hookesche Gesetz ausgedrückt durch die lineare Tensorgleichung (4. Stufe!) :

\tilde\sigma=\tilde\tilde\varepsilon

, mit dem Elastizitätstensor

\tilde

, der die elastischen Eigenschaften der deformierten Materie kennzeichnet. Da der Tensor

\tilde

81 Komponenten

C_,\;i,j,k,l=1\ldots3

aufweist, ist er schwierig zu handhaben. Aufgrund der Symmetrie von Verzerrungs- und Spannungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten jedoch auf 36. Damit lässt sich das hookesche Gesetz in eine einfacher zu handhabende Matrixgleichung überführen, wobei die elastischen Konstanten in einer

6\times6

-Matrix, sowie die Verzerrung und die Spannung als sechskomponentige Vektoren dargestellt werden (Voigtsche Notation): :

\begin
  \sigma_ \\
  \sigma_ \\
  \sigma_ \\
  \sigma_ \\
  \sigma_ \\
  \sigma_
\end=\begin
  C_ & C_ & C_ & C_ & C_ & C_ \\
  C_ & C_ & C_ & C_ & C_ & C_ \\
  C_ & C_ & C_ & C_ & C_ & C_ \\
  C_ & C_ & C_ & C_ & C_ & C_ \\
  C_ & C_ & C_ & C_ & C_ & C_ \\
  C_ & C_ & C_ & C_ & C_ & C_
\end\cdot\begin
  \varepsilon_ \\
  \varepsilon_ \\
  \varepsilon_ \\
  \varepsilon_ \\
  \varepsilon_ \\
  \varepsilon_
\end.

Aus energetischen Überlegungen ergibt sich, dass auch diese

6\times6

-Matrix symmetrisch ist. Die Anzahl der unabhängigen

C_,\;i,j=1\ldots3

(elastische Konstanten) reduziert sich damit weiter auf maximal 21. Die maximal sechs unabhängigen der beiden symmetrischen Tensoren für Dehnung und Spannung werden häufig in der folgenden Weise auf zwei sechskomponentige Vektoren verteilt: :

\begin
&\epsilon_:=\varepsilon_x\,,\;
\epsilon_:=\varepsilon_y\,,\;
\epsilon_:=\varepsilon_z\,,\;
\epsilon_=\epsilon_:=\sqrt\gamma_\,,\\
&\epsilon_=\epsilon_:=\sqrt\gamma_\,,\;
\epsilon_=\epsilon_:=\sqrt\gamma_\,,
\end

also :

\mathbf\varepsilon^T=\left(\varepsilon_x\,,\;\varepsilon_y\,,\; \varepsilon_z\,,\;\sqrt\gamma_\,,\;\sqrt\gamma_\,,\;
\sqrt\gamma_\right)\,,

und analog :

\mathbf\sigma^T=\left(\sigma_x\,,\;\sigma_y\,,\;\sigma_z\,,\;
\sqrt\tau_\,,\;\sqrt\tau_\,,\;\sqrt\tau_\right)\,.

Der Faktor

\sqrt

ist notwendig, um Übereinstimmung zwischen der hier eingeführten Matrix/Vektor-Darstellung Tensorgleichung und der Tensorgleichung

\tilde\sigma=\tilde\tilde\varepsilon

herzustellen. (Statt

\sqrt

bei den Vektordarstellungen für sowohl Verzerrung als auch Spannung kann auch der Faktor 2 bei nur einem der beiden Vektoren verwendet werden.)

Isotrope Medien

Im Spezialfall isotroper Medien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten von 21 auf 2. Wesentliche Eigenschaften der Deformation lassen sich dann durch die Querkontraktionszahl charakterisieren. Das Hookesche Gesetz lässt sich dann darstellen in der Form :

\bar\varepsilon = L^ \bar\sigma

, mit :

L^ = \frac
       \begin
       1     &-\nu &-\nu &0      &0        &0 \\
       \cdot &1     &-\nu &0      &0        &0 \\
       \cdot &\cdot & 1    &0      &0        &0 \\
       \cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0        &0 \\
       \cdot &\cdot &\cdot &\cdot    &1+\nu &0 \\
       \cdot &\cdot &\cdot &\cdot    &\cdot  &1+\nu
       \end

, bzw. :

L = \frac
\begin
\frac&\frac&\frac&0&0&0\\     
\cdot                 &\frac&\frac&0&0&0\\
\cdot                 &\cdot                 &\frac&0&0&0\\
\cdot                 &\cdot                 &\cdot                 &1&0&0\\
\cdot                 &\cdot                 &\cdot                 &0&1&0\\
\cdot                 &\cdot                 &\cdot                 &0&0&1
\end

, wobei E das Elastizitätsmodul (auch Youngsmodul) und

\nu

die Querkontraktionszahl sind. Beide sind vom Werkstoff bestimmt. Für eindimensionale Deformationen vereinfacht sich die Beziehung zu :

\varepsilon=\frac\sigma

Vereinfachtes Hookesches Gesetz

Das Hookesche Gesetz gilt für einen großen Dehnungsbereich bei Zug- und Druckfedern. In diesem Spezialfall einer eindimensionalen linearen elastischen Deformation vereinfacht sich der Elastizitätsmodul

E

zur Federkonstante

D

, die Verzerrung

\tilde\varepsilon

des Körpers zu seiner relativen Längenänderung

\Delta l\,/\,l

und statt der mechanischen Spannung

\tilde \sigma

(Kraft pro Angriffsfläche) kann direkt die angelegte Kraft

F

angegeben werden. Das Hookesche Gesetz kann dann in der einfachen Form :

\Delta l=\frac F

als eine lineare Funktion zwischen der angelegten Kraft

F

und der daraus resultierenden Längenänderung

\Delta l

dargestellt werden (Hookesche Gerade). Die Verlängerung einer Feder durch ein Gewicht G ist also proportional zu diesem. Bei Berechnung der rücktreibenden Kraft kehrt sich das Vorzeichen um (

F_=-D\Delta l

). Das Hookesche Gesetz findet nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Molekülphysik Anwendung. Hierbei beschreibt die Federkonstante, die in diesem Fall Kraftkonstante genannt wird, die Stärke einer chemischen Bindung.

Siehe auch

- Physik für die Schule

Weblinks

- http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/hooke.html Interaktives Modell zum Hookeschen Gesetz Kategorie:Feder (Technik) Kategorie:Mechanik ja:振動運動#フックの法則 ko:훅의 법칙

Bauingenieurwesen

Das Bauingenieurwesen ist eine Ingenieurwissenschaft, die sich mit Bauwerken verschiedener Art auseinandersetzt. Teil des Bauingenieurwesens sind auch die Bereiche, die sich mit dem Umfeld von Bauwerken wie auch der Infrastruktur befassen. Das Bauingenieurwesen gliedert sich somit in die Bereiche:
- Konstruktiver Ingenieurbau (Statik, Baudynamik, Stahlbau, Massivbau, Holzbau, Hochbau, Glasbau, Grundbau)
- Wasser und Umwelt (Wasserwirtschaft, Siedlungswasserwirtschaft, Abfallwirtschaft, Wasserbau, Küsteningenieurwesen, Energiewasserbau, Hydromechanik, Stahlwasserbau, Stauanlagenbau, Verkehrswasserbau, Hydrologie)
- Verkehrsbauwesen (Straßen- und Wegebau, Verkehrsplanung, Eisenbahnbau, in Teilen auch Städtebau)
- Baubetrieb / Bauleitung
- Bauinformatik Weiterhin gibt es noch Spezialisierungsgebiete wie z.B. Sanierung und Bauwerkserhaltung. Die zugehörige Berufsbezeichnung ist Bauingenieur. Es handelt sich hierbei um einen Diplomstudiengang, der zur Zeit für einzelne Teilbereiche durch Master- und Bachelor-Abschlüsse ergänzt wird.

Siehe auch

- Portal:Architektur und Bauwesen
- Bauwesen, Bauwerk, Gebäude

Weblinks

- [http://www.structurae.de Structurae] - Datenbank für Ingenieurbau ! Kategorie:Ingenieurwissenschaft ja:土木工学 th:วิศวกรรมโยธา

Maschinenbau

Ingenieurwissenschaft. Der Maschinenbau (auch: das Maschinenwesen) befasst sich mit dem Entwurf und der Herstellung von Maschinen aller Art. Ausgehend von einzelnen simplen Maschinenelementen werden dabei Anlagen von größter Komplexität wie Fertigungsstraßen und ganze Fabriken entwickelt, gebaut und betrieben. In den heutigen Ingenieurwissenschaften oftmals Kernbereich der Produktionstechnik. Der Maschinenbau ist durch seine Kombination von Grundlagenforschung und Entwicklung von Fertigungsverfahren (auch Produktionsverfahren) ein typisches Fach der Technik. Er setzt physikalische Gesetzmäßigkeiten, insbesondere aus den Teilgebieten Mechanik und Thermodynamik, für die Konstruktion und die Simulation technischer Anlagen ein. Aufgrund der zunehmenden Automatisierung werden technische Anlagen heute mit einer komplexen Mess- und Steuerungs- bzw. Regelungstechnik ausgestattet. Die Konstruktionslehre beschäftigt sich mit den Zielen und Methoden, die ein Maschinenbau-Ingenieur bei der Konstruktion technischer Anlagen beachten muss. Mittlerweile werden die technischen Anlagen mit Hilfe von CAD-Programmen am Computer entworfen. Die dabei erzeugten CAD-Dateien können anschließend einer Simulation unterzogen und von einer CNC- Maschine gefertigt werden. Teilgebiete des Maschinenbaus sind:
- Automatisierungstechnik (siehe auch Robotertechnik)
- Bewegungstechnik und
- Antriebstechnik
- Energietechnik (siehe auch Energie)
- Fahrzeugbau
- Produktionstechnik
- Fertigungstechnik
- Flugzeugbau
- Fördertechnik
- Konstruktionslehre
- Kunststofftechnik
- Leichtbau
- Maschinendynamik
- Materialflusstechnik
- Fördertechnik
- Lagertechnik
- Mechatronik
- Medizintechnik
- Messtechnik
- Motorentechnik (siehe auch Motor und Verbrennungsmotor)
- Qualitätsmanagement
- Regelungs- und Steuerungstechnik
- Schienenfahrzeugtechnik
- Schiffbau
- Statistik
- Steuerungstechnik
- Thermodynamik und Strömungslehre
- Technische Mechanik
- Textiltechnik bzw. Textilmaschinenbau
- Verpackungstechnik
- Verkehrstechnik
- Verfahrenstechnik und Prozesstechnik
- Entwicklung und Bau von Wärme- und Wasserkraftmaschinen.
- Werkstofftechnik
- Werkzeugmaschinen

Maschinenbau in Deutschland

In vielen Staaten ist der Maschinenbau die wichtigste Industriesparte. In der Bundesrepublik Deutschland steht er an zweiter Stelle der Produktion und zählt allein in Nordrhein-Westfalen 200.000 Arbeitnehmer (Umsatz 30 Mrd. Euro). Auch in Baden-Württemberg macht er über 20% der Wirtschaft aus. Von 1995 bis 2002 wuchs der deutsche Export in 20 Industrieländer um 25 bis 100%. Mit 5700 Unternehmen und 875000 Beschäftigten ist der Maschinen- und Anlagenbau die größte Branche Deutschlands vor der Elektroindustrie und dem Straßenfahrzeugbau. Gemessen am Umsatz von rund 130 Milliarden Euro steht die Branche auf Rang drei. Maßgeschneiderte Kundenlösungen führen zu einem Pro-Kopf-Umsatz im Maschinenbau von rund 148 000 Euro. Rund 70 Prozent des deutschen Umsatzes gehen ins Ausland. Der deutsche Maschinenbau ist vor den USA der führende Anbieter im Welthandel mit einem Anteil von 19 Prozent. An Technischen Hochschulen und Technischen Universitäten ist Maschinenbau eine der drei klassischen Fakultäten neben Elektrotechnik und Bauwesen für angehende Diplomingenieure. Neu gegründete Fachhochschulen und (schon länger existierende) technische Mittelschulen besitzen fast immer große Abteilungen für Maschinenbau und -Entwicklung.

Siehe auch

- Mechatronik, Motor, Industrie, Themenliste Maschinenbau

Weblinks

- [http://www.vdma.org VDMA (Verband Deutscher Maschinen- und Anlagenbaue e.V.)]
- [http://www.swissengineering.ch/ Schweizerischer Technischer Verband]
- [http://www.vdma.org/ilwwcm/connect/Home/de/Verband/VDMA_Presse/Pressemitteilungen/ Aktuelle Pressemeldungen im Maschinenbau]
- [http://www.mmm-nrw.de/upload/news/Vortrag%20At%20220503.pdf VDMA-Vortrag zur Bedeutung des Maschinenbaus in NRW]
- [http://www.vdi.de/ Verein Deutscher Ingenieure (VDI)]
- [http://www.aser.uni-wuppertal.de/prg/automatsys/index.htm Interaktives Online-Werkzeug zur Gefahrenanalyse von automatisierten Fertigungssystemen]
- [http://www.bmwa.bund.de/Navigation/Wirtschaft/Branchenfokus/Industrie/maschinen-und-anlagenbau.html Branchenskizze des Bundesministeriums für Wirtschaft und Arbeit] Kategorie:Ingenieurwissenschaft ! ja:機械工学 ko:기계 공학 ms:Kejuruteraan mekanikal th:วิศวกรรมเครื่องกล

Flugzeugbau

Flugzeugbau ist ein Teilgebiet des Maschinenbaus (Verkehrstechnik) und umfasst den Entwurf, den Bau und die Erprobung von Luftfahrzeugen, aber auch deren Wartung, Instandhaltung und Reparatur.

Einteilung von Luftfahrzeugen

Zivilflugzeuge sind die bei weitem häufigsten Verkehrsmittel der Luft. Es werden jedoch sehr viele Gruppen und Bauarten unterscheiden, was die Vielfalt des Gebietes illustriert. Außerdem gibt es noch
- Ballone
- Luftschiffe
- Hubschrauber
- Militärflugzeuge
- Raketenflugzeuge ... ... und der Flugzeugbau befasst sich mit all diesen Fahrzeug-Gruppen.

Typen der Flächenflugzeuge

Die Flugzeuge mit Tragflächen (neuerdings darf man wieder "Flügel" sagen) können nach mehreren Gesichtspunkten unterteilt werden: # nach Geschwindigkeit (Reisegeschw., maximale, Start, Landung) # nach Ansatz der Tragflächen (Schulterdecker Mittel-, Tief- und Hochdecker) # nach Art des Profils (Standard, gestrecktes Flügelprofil ...) # nach Art des Antriebs (Propeller, Turboprop, Jet) # ... ... Der 1.Aspekt hat im Flugzeugbau viel mit Festigkeit, Temperatur etc. zu tun, der zweite und dritte vor allem mit der Aerodynamik. Die Antriebsart wiederum hat neben den obgenannten Aspekten Auswirkungen auf Treibstoffkosten, Wartungszeiten und Wirtschaftlichkeit. Je komplexer ein Aggregat, desto besser muss ferner die Kooperation der Flugzeugfirma mit dem Hersteller des Triebwerks sowie mit der (hauseigenen) Technik - und anfangs auch mit verschiedensten Ingenieuren, Testpiloten und Analysten sein.

Technik des Flugzeugbaues (FZB)

Antriebsarten und Maschinenbau

Werkstoffe und Komposite

Leichtbau

Materialfragen, Synthetische Stoffe (Kunst-, Faserverbundwerkstoffe, Leichtmetall-Legierungen ..), Festigkeit, Sandwichbauweise, Material-Ermüdung, Aerodynamische Antennen

Weitere technische Aspekte

Aktuelle Forschungsthemen

(derzeit nur aus 2 Publikationslisten): Flugzeug-Struktur und Optimierung, FE-Entwurf (finite Elemente), Gemischte Bauweisen, Zusammengesetzte FZ-Teile, Versteifungen, Verbeulung und Nachbeulverhalten, Triebwerke und Kühlung

Flugsteuerung, Navigation

Weiterentwicklung von Autopiloten, Schwingungen, Dämpfung und Federung, Wirbelschleppen, Moderne integrierte Instrumente, Integrierte Navigation, Mensch-Maschine Kommunikation, ...

Flugzeug und Wirtschaftlichkeit

Herstellungskosten, Materialien, Bauweisen

Komponenten der Betriebskosten

Der folgende Text erläutert die Aufschlüsselung der Betriebskosten von großen Verkehrsflugzeugen aus Sicht von Luftverkehrsgesellschaften. Zunächst einmal unterscheidet man direkte und indirekte Betriebskosten. Während die direkten Betriebskosten (Direct Operating Costs - DOC) einem bestimmten Luftfahrzeug unmittelbar zugeordnet werden können, gelingt das bei den indirekten Betriebskosten (Indirect Operating Costs - IOC) nicht (z.B. Vertriebskosten). Um Verkehrsflugzeuge vergleichend bewerten zu können, werden meist nur die DOC verwendet, die im Folgenden weiter unterteilt werden. Eine weitere Gliederung erhält man durch die Unterscheidung von variablen und fixen Kostenanteilen. Variable Kosten sind vom Maß der Flugzeugnutzung abhängig (z.B. Kraftstoffkosten). Fixe Kostenanteile dagegen werden als vom Einsatz des Geräts unabhängig angesehen (z.B. Versicherungskosten). Bei der Betriebskostenrechnung wird von der Abschreibung des Flugzeugs über einen Zeitraum von 12-15 Jahren ausgegangen. Geht man von konstanten jährlichen Abschreibungsbeträgen aus, so kann man ein Kostenszenario für ein Betriebsjahr aufstellen. Betriebskosten entstehen für: # Abschreibung (fix) # Versicherung (fix) # Besatzung (fix) # Wartung & Instandhaltung (variabel) # Kraft- und Betriebsstoffe (variabel) # Gebühren bzw. Entgelte (variabel) In der Regel werden bei der DOC-Berechnung die Kosten für die Borddienstzuladung nicht mitzuberücksichtigt. Bezieht man die jährlichen DOC auf die Anzahl der Flüge, so erhält man die durchschnittlichen Kosten pro Flug (Trip Costs). Teilt man weiterhin durch die mittlere Einsatzstreckenlänge, so erhält man die Kosten pro Kilometer. Nach nochmaliger Division durch die Anzahl der Passagierkapazität erhält man die sogenannten Stückkosten DOC/SKO (SKO - Seat Kilometer Offered). Die Stückkosten nehmen mit zunehmender Flugstrecke deutlich ab.

Wartung, Kosten und Verlässlichkeit

Firmenstrukturen und Globalisierung

(...)

Flugzeugselbstbau

In den meisten Ländern ist es möglich und auch erlaubt, sich ein manntragendes Flugzeug selbst zu bauen. Es haben sich dabei 3 Arten etabliert. # Bau eines Bausatzflugzeugs # Bau nach einem gekauften Bauplan # Eigenentwicklung eines Flugzeugs. Der Bau nach Bausatz ist die gebräuchlichste Methode. Vorteil: Die Konstruktionen sind im allgemeinen bereits erprobt, durch mehr oder weniger vorgefertigte Komponenten lässt sich ein Flugzeug in einem überschaubaren Zeitrahmen bauen, meistens zwischen 500 und 2000 Stunden. Die Materialbeschaffung hat der Bausatzherstelle übernommen. Die Kosten für ein Bausatzflugzeug liegen zwischen bei ca. 50 und 80% des Preises eines fertigen Modells. Beim Bau nach Bauplan kauft man sich von einem Konstrukreur einen Plan, und baut nach diesem. Hierbei müssen allerdings alle Komponenten selbst hergestellt bzw. beschafft werden. Der Zeitaufwand beträgt je nach Konstruktion 1000 - 5000 Std. Zuweilen auch noch länger. Viele Flugzeugtypen gibt es nur als Bauplan zu kaufen. Auch die Eigenentwicklung eines Flugzeugs ist bei uns möglich. Für einen Anfänger ist das aber wohl nicht der richtige Weg. Es ist theoretisch möglich jeden beliebigen Gegenstand als Flugzeug zu bauen, wenn man nachweisen kann, dass das Konstrukt zuverlässig und sicher fliegt. Der Selbstbau eines Flugzeugs ist aber nur für Privatleute möglich. Eine Serienproduktion ist nicht erlaubt, dafür braucht man eine Musterzulassung. Das Flugzeug darf, wenn es fertig ist auch nur zu Hobbyzwecken betrieben werden. Eine kommerzielle Nutzung ist verboten. In Deutschland läuft der Flugzeugselbstbau normalerweise über einen Verein, die Oskar Ursinus Vereinigung ([http://www.ouv.de OUV]). Dieser Verein unterstützt den Erbauer sowohl in technischer als auch rechtlicher Hinsicht. Interessante Seiten zu diesem Thema: [http://www.apinformatik.ch/breezer/index.htm#Tagebuch] [http://www.der-haderlump-fliegt.de.vu] [http://www.apinformatik.ch/iboc/]

Siehe auch

Aerodynamik Auftrieb Luftfahrt,Luft- und Raumfahrttechnik, Flugzeug, Hubschrauber, Fluggerätmechaniker Militärflugzeug Stabilität, Entwurf, Fluglage, Industrie, Maschinenbau, Materialwissenschaft, Navigation, Statik, Testpilot, Verkehrswesen, Zelle, Kategorie:Luftfahrt Kategorie:Maschinenbau Kategorie:Verkehr Kategorie:Verkehrstechnik

Bauteil

Als Bauteil bezeichnet man...
- in der Technik Einzelteile von technischen Komplexen (Mechanismen, Maschinen, Apparaten etc.). Siehe Bauteil (Technik)
- in der Architektur oder im Bauwesen einen Teil eines Bauwerks oder eines Gebäudes. Siehe Bauteil (Bauwesen) !

Stab

Der Ausdruck Stab bezeichnet
- in der technischen Mechanik bzw. Statik ein Linientragwerk; siehe Stab (Statik)
- einen reellen länglichen zylindrischen Gegenstand, siehe Stock (Stab)
- eine organisatorische Funktionsgruppe von Personen
- ein Gremium zur Führung (Führungsstab) einer ganz oder teilweise hierarchischen Organisation, siehe Generalstabsdienst und Stabsabteilung.
- ein einem verantwortlichen Leiter einer Notfallorganisation unterstellter Krisenstab
- ein die Verwaltung tätigender Personenkreis; siehe Verwaltungsstab.
- einen Personenkreis in der Filmproduktion; siehe Stab (Film)
- einen unmittelbar mit dem Rechtsleben in Verbindung stehenden Personenkreis, den Rechtsstab; siehe Gesetzgeber, Justiz, Rechtsberater, Rechtslehre. Siehe auch: Stäbchen, Stabkirche, Aronstab

Horizontal

Die Horizontale, auch Waagrechte ist eine gedachte Ebene senkrecht zur Lotrechten. Die Waagrechte ist eine relative Aussage, die sich immer auf die Lotrechte (Vertikale) bezieht. Für kleine Strecken z.B. Körperkanten bis zu mehreren Metern ist die tatsächliche Krümmung der Horizontalen vernachlässigbar. Absolut ist die Horizontale aber eine Kugeloberfläche, was bei der Betrachtung längerer Strecken auch beachtet werden muss. Siehe auch: Wörterbucheintrag Horizontal, Vertikale Kategorie:Geometrie

Horizontal

Elastizitätsmodul

Der Elastizitätsmodul (auch: Youngscher Modul, benannt nach dem Physiker Thomas Young) ist ein Materialkennwert aus der Werkstofftechnik, der den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers bei linear elastischem Verhalten beschreibt. Der Elastizitätsmodul wird mit E-Modul oder als Formelzeichen mit E abgekürzt. Der Betrag des Elastizitätsmoduls ist um so größer, je mehr Widerstand ein Material seiner Verformung entgegensetzt. Ein Material mit hohem Elastizitätsmodul ist also steif, ein Material mit niedrigem Elastizitätsmodul ist nachgiebig. Der Elastizitätsmodul ist die Proporionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz. Bei kristallinen Materialien ist der Elastizitätsmodul grundsätzlich richtungsabhängig. Sobald ein Werkstoff eine kristallographische Textur hat, ist der Elastizitätsmodul also anisotrop.

Definition

Der Elastizitätsmodul ist als Steigung des Graphen im Spannungs-Dehnungs-Diagramm bei einachsiger Belastung innerhalb des linearen Elastizitätsbereichs definiert. :

E=\frac=const.

Dabei bezeichnet

\sigma

die mechanische Spannung (Normalspannung, nicht Schubspannung) und

\epsilon

die Dehnung. Die Dehnung ist das Verhältnis von Längenänderung zur ursprünglichen Länge. Die Einheit des Elastizitätsmoduls ist die einer Spannung: :E in

\mathrm

, in SI-Einheiten: E in

\mathrm

(Pascal) Der Elastizitätsmodul wird als Materialkonstante bezeichnet, da mit ihm und den Querkontraktionszahlen das Elastizitätsgesetz aufgestellt wird. Der Elastizitätsmodul ist aber nicht bezüglich aller physikalischen Größen konstant. Er hängt von verschiedenen Umgebungsbedingungen wie z.B. Temperatur, Feuchte oder der Verformungsgeschwindigkeit ab.

Beispiele

Anwendung

Bei ideal linear elastischem Werkstoffgesetz (Proportionalitätsbereich im Spannungs-Dehnungs-Diagramm) ergibt sich die Federkonstante D eines geraden Stabes aus seiner Querschnittsfläche A, seiner Länge L und seinem Elastizitätsmodul E. :

D=\frac=\frac

Drückt man die Kraft F durch die Spannung aus

F=A\cdot\sigma

und die Längenänderung s durch die Dehnung

s=\epsilon\cdot L

, so erhält man das Hooksche Gesetz. :

E=\frac

Anschaulich kann man sich den Elastizitätsmodul als diejenige Normalspannung vorstellen, die das Material auf seine doppelte Länge dehnt.

Zahlenwerte

- Stahl ca.: 190 000 bis 210 000 N/mm² (bei Raumtemperatur),
- Aluminium: 70 000 N/mm²,
- Titan: 105 000 N/mm²,
- Kupfer: 140 000 N/mm²,
- Messing: 78 000 bis 123 000 N/mm²,
- Beton: 22 000 bis 45 000 N/mm²,
- Holz, parallel zur Faser: 9 000 bis 18 000 N/mm² für Rotbuche (Bongossi bis 28 500),
- Holz, quer zur Faser: 300 bis 1 000 N/mm²,
- Silikonkautschuk: 10 bis 100 N/mm²
- CFK (Kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff) (hergestellt aus High Tensile (HT)-Kohlenstofffaser mit phi=0,6) parallel zur Faser ca. 150 000 N/mm², senkrecht zur Faser ca. 13 000 N/mm². Bei flächigen Bauteilen wird mit Flüssen an Stelle von Spannungen gerechnet

n_i=t\cdot\sigma_i

. Daher setzt man hier einen dickenbezogenen Elastizitätsmodul ein, was einer Steifigkeit entspricht. Diese Größe hat die Einheit

\mathrm

Siehe auch

- Schubmodul
- Elastizitätsgesetz
- Werkstoffgesetz
- Hookesches Gesetz Kategorie:Werkstoffeigenschaft Kategorie:Technische Mechanik Kategorie:Festigkeitslehre ja:ヤング率

Flächenträgheitsmoment

Das Flächenträgheitsmoment ist ein Maß, welches den Widerstand eines Querschnittes gegenüber einer Biegung aufweist. Es wird benötigt, um Verformungen an Bauteilen zu berechnen.

I_ = \int_ z^2 \ \mathitA

I_ = \int_ y^2 \ \mathitA

I_ = I_ = - \int_ zy \ \mathitA

I_y und I_z werden als axiale Flächenträgheitsmomente, I_zy als Flächendeviationsmoment oder Zentrifugalmoment bezeichnet. Diese Formeln sind nur gültig, wenn der Flächenschwerpunkt auch Ursprung des Koordinatensystems ist; Andernfalls kann das Flächenträgheitsmoment mit dem Steinerschen Satz berechnet werden. Das Deviationsmoment ist Null, wenn entweder die y-Achse oder die z-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist. Das polare Flächenträgheitsmoment setzt sich aus den beiden Flächenträgheitsmomenten I_y und I_z zusammen:

I_P =  = I_ + I_

Der Flächenträgheitsradius ist als

i_ := \sqrt

i_ := \sqrt

i_ := \sqrt

definiert. Es ist der quadratisch gemittelte Abstand der Flächenelemente von der y- oder z-Achse.

Beispiele

- Rechteck ::Für ein Rechteck mit Basis b parallel zur y-Achse und der Höhe h ist das Flächenträgheitsmoment ::

I_ =

I_=

:: Das Verhältnis der Flächenträgheitsmomente I_y / I_z beträgt h^2 / b^2.
Beispielsweise ist ein Messer (kleine Dicke b, große Höhe h) in der Schnittebene z-x außerordentlich steif; senkrecht dazu läßt es sich leicht verbiegen.
Holz-Deckenbalken werden mit ihrer Schmalseite auf das tragende Mauerwerk aufgesetzt. ::für ein Quadrat mit der Seitenlänge a vereinfacht sich das Flächenträgheitsmoment zu ::

I_ = I_ =

- Kreis ::Für einen Kreis mit

A=\pi \cdot R^2

(A: Fläche; R: Radius) wegen der Symmetrie ::

I_ = I_ =  \cdot R^2 = \cdot R^4

- Kreisring :: Für einen Kreisring mit Außenradius R und Innenradius r (mit

d=R-r

) beträgt das Flächenträgheitsmoment ::

I_ = I_ =  \cdot (R^4 - r^4) \approx \pi \cdot d \cdot R^3

- Trapez :: Für ein gleichschenkliges Trapez mit der Basis B parallel zur z-Achse und der Höhe h ::

I_ =

- I-Träger (Doppel-T-Träger) :: Für einen Doppel-T-Träger mit der Breite B und Höhe H und einer symmetrischen Aussparung links und rechts der Breite b/2 und Höhe h (gleichbedeutend mit einer Breite des Mittelstegs von B-b und einer Dicke der oberen und unteren Platte von (H-h)/2): ::

I_ = \frac(B \cdot H^3 - b \cdot h^3)

::Ähnlich wie beim rechteckigen Balken ist die Orientierung beim Einbau zu beachten, da I_z kleiner ist als I_y. siehe auch: Flächenmoment Trägheitsmoment Technische Mechanik Kategorie:Technische Mechanik

Tips für Anwender

In den einschlägigen Quellen nachschauen. (Maschinenbau-Handbüchern aller Art). Nicht die Seiten (z.B.: Höhe/Breite) durcheinander bringen und daran denken, dass das Widerstandsmoment über bleibende Verformung oder Bruch entscheidet. Das Widerstandsmoment ist das Flächenträgheitsmoment geteilt durch den Abstand der neutralen Faser zur betrachteten Faser. Mit dem Flächenträgheitsmoment rechnen wir immer dann, wenn uns die Biegung eines Körpers im elastischen Bereich interessiert. Dazu gibt es in den einschlägigen Quellen viele Fallbeschreibungen. Reichen diese nicht mehr aus, dann kommt man mit dem Satz von Castigliano weiter. Damit lassen sich auch gekrümmte Körper mit veränderlichem Flächenträgheitsmoment berechnen. Auch hier wieder die einschlägigen Quellen (z.B. Dubbel-Taschenbuch des Maschinenbaus) zu rate ziehen. Einfacher freilich ist ein FEM-Simulation in Verbindung mit einem modernen 3D-CAD.

Widerstandsmoment

Das Widerstandsmoment ist das Vermögen einer Fläche, einer Belastung aus einem Biegemoment zu widerstehen. Eine solche Fläche kann die Aufstandsfläche eines Bauteils, aber auch jede Querschnittsfläche A oder Schnittfläche sein. Die Fläche muss eben sein. Mit Hilfe des Widerstandsmoments berechnet man die Spannungen am Rand, aber auch an jeder anderen Stelle der Querschnittsfläche, die infolge des Biegemoments entstehen. :

\sigma = \frac

\sigma

= Spannung, :M = Biegemoment :W = Widerstandsmoment Das Widerstandsmoment hat die physikalische Einheit

m^3

. Man berechnet das Widerstandsmoment W aus dem Flächenträgheitsmoment I, indem man dieses durch den Randabstand teilt: :

W = \frac

:W = Widerstandsmoment :I = Flächenträgheitsmoment :a = Abstand des Flächenschwerpunkts vom Rand Das Trägheitsmoment hat die physikalische Einheit

m^4

. Trägheitsmomente gibt es auch im Dreidimensionalen; dort beschreiben sie den Widerstand eines Körpers gegenüber Rotation. Deshalb wird das Trägheitsmoment, um das es hier geht, Flächenträgheitsmoment genannt. Für spezielle Flächen gibt es einfache Formeln, die das Widerstandsmoment angeben. Das Widerstandsmoment eines Rechtecks ist beispielsweise für die Schmalseite: :

W\mathrm = \frac

:W = Widerstandsmoment :b = Breite des Rechtecks :h = Höhe des Rechtecks Das zugehörige Trägheitsmoment ist: b
- h³/12, und a ist in diesem Falle h/2. Auch für den Rand jeder beliebig umrandeten Fläche lässt sich das Widerstandsmoment angeben. Zuerst berechnet man das Flächenträgheitsmoment und dividiert dann durch den Randabstand. Die allgemeine Formel des Flächenträgheitsmoments für eine beliebige Fläche A ist: :

\int_^ y^2\, dA

(im Falle des o.g. Rechtecks wird daraus b
- h³/12, wenn man von -h/2 bis +h/2 integriert; bitte selbst nachprüfen!) Aber nicht nur für rechtwinklige Achsen, sondern auch für jede schiefwinklige Achse durch die Fläche gibt es ein Flächenträgheitsmoment und ein Widerstandsmoment. Das wird wichtig, wenn eine Belastung schief auf eine Fläche einwirkt. Das Flächenträgheitsmoment ist immer bezogen auf eine Achse (Linie), normalerweise die Schwerachse der Fläche. Liegt die Fläche bzw. ihr Schwerpunkt aber weiter von der betrachteten Achse entfernt, benötigt man den Satz von Steiner für die Berechnung des Flächenträgheitsmoments. Angewandt wird das Widerstandsmoment im Ingenieurwesen, speziell der Statik/Baustatik, z.B. in der Balkentheorie. Es wird benötigt bei statischen Berechnungen, bei der Bemessung von Balken, Tragkonstruktionen, Fundamenten, Stützmauern und anderen Bauwerken.

Beispiele

- Rechteck ::Für ein Rechteck mit Basis b parallel zur z-Achse ist das Widerstandsmoment ::

W_ =

::für ein Quadrat mit der Seitenlänge a vereinfacht sich das Widerstandsmoment zu ::

W_ =

- Kreis ::Für einen Kreis mit Durchmesser D ::

W_ =  D^3

- Kreisring :: Für einen Kreisring mit Außendurchmesser D und Innendurchmesser d ist das Wiederstandsmoment ::

W_ =

- Trapez :: Für ein gleichschenkliges Trapez mit der Basis B parallel zur z-Achse und der Höhe h ::

W_ =

Siehe auch

Statisches Moment, Trägheitsmoment, Spannungstrapezverfahren, Festigkeitslehre Kategorie:Technische Mechanik

Bessel-Punkt

Die Bessel-Punkte (nach Friedrich Wilhelm Bessel) sind die Auflagerpositionen eines gleichmäßig belasteten Balkens, für die die mittlere Biegung des Balkens (genauer: der neutralen Achse) minimal ist. Auflager Man betrachtet einen horizontalen Balken (oder einen Regalboden) der Länge L, der sich unter seinem eigenen Gewicht oder dem einer gleichmäßig verteilten Auflage verbiegt. Die Positionen der zwei Auflager sollen genau dann als optimal gelten, wenn der Balken in diesen Punkten bei freier Lagerung einen horizontalen Verlauf annimmt (oder bei starrer, zwangsweise horizontaler Montage kein Drehmoment auf die Lager ausübt). Aus Symmetriegründen liegen die Auflagepunkte bei x und L-x. Aus der Differentialgleichung für den schwach gebogenen Stab und geeigneten Rand- und Anschlussbedingungen findet man :

x/L=\sqrt-1=0,2247...

(Aber: Literaturwert: 0.2203; siehe Diskussion) Die Durchbiegung, gemessen als maximale Auslenkung aus der Horizontalen, ist über 40 mal kleiner als bei Lagerung an den beiden Rändern des Balkens. Als Airy-Punkte bezeichnet man die Auflagerpositionen, bei der die Flächen der Balkenenden parallel (senkrecht) verlaufen. Die Punkte x und L-x liegen bei: :x=0,2115 Kategorie:Technische Mechanik

Leonardo da Vinci

]] Leonardo da Vinci [] (
- 15. April 1452 in Anchiano bei Vinci; † 2. Mai 1519 auf Schloss Clos Lucé, Amboise) war Maler, Bildhauer, Architekt, Musiker, Arzt, Mechaniker, Ingenieur, Naturphilosoph und sogar Grand Master in dem Geheimbund "Priori de sion"; er wird als das italienische Universalgenie bezeichnet. Sein Geburtsort Vinci war ein Kastell oder befestigtes Hügeldorf im Florentiner Territorium (ca. 30 km westlich von Florenz) nahe Empoli, von dem die Familie seines Vaters ihren Namen ableitete. Verkürzt spricht man "Leonardo", weil da Vinci, zu Deutsch "aus Vinci", kein echter Zuname ist.

Leben

Herkunft und Jugend

Familie

Empoli Leonardo wurde als nichtehelicher Sohn des 25-jährigen Notars Ser Piero und des 22-jährigen Bauernmädchens Catarina geboren. Ihre Beziehung zu Ser Piero ging anscheinend kurz nach der Geburt des Sohns zu Ende. Sie heiratete wenig später den Töpfereibesitzer Accattabriga di Piero del Vacca aus Vinci und hatte fünf weitere Kinder mit ihm. Ser Piero war seinerseits viermal verheiratet und hatte von seinen beiden letzten Frauen neun Söhne und zwei Töchter. Ser Piero hatte den jungen Leonardo nach der Trennung von Catarina als leiblichen Sohn angenommen. Ser Piero war Notar vieler der wichtigsten Familien dieser Stadt und übte den Beruf mit Erfolg aus. Seine Klienten umfassten sowohl die Medici als auch die Signoria oder den regierenden Rat des Staats. Leonardo wuchs im Hause des Vaters auf und verbrachte den größten Teil seiner Jugend in Florenz. Zu seiner Schönheit und Unternehmungslust kam ein gewinnender Charme, Taktgefühl in der Gesellschaft und eine Begabung für jegliches künstlerische Fachgebiet. Unermüdliche intellektuelle Energie und Neugier lagen unterhalb dieser liebenswerten Oberfläche. Unter den verschiedenen Interessen, die der junge Leonardo pflegte, waren seine liebsten zunächst Musik, Zeichnen und Modellieren. Sein Vater zeigte einige seiner Zeichnungen einem Bekannten, Andrea del Verrocchio, der sofort die künstlerische Berufung des Jungen erkannte und von Ser Piero als Lehrer ausgewählt wurde. Leonardo sollte lernen und seine künstlerischen Fähigkeiten weiter ausbauen.

Lehrjahre bei Verrocchio

Andrea del Verrocchio Verrocchio war zwar kaum einer der großen kreativen oder erfinderischen Kräfte in der Kunst seines Zeitalters in Florenz, er war aber ein erstklassiger Handwerker, sowohl als Goldschmied, als Bildhauer und auch als Maler. Eine besonders ausgezeichnete Begabung hatte er als Lehrer. In seinem Atelier arbeitete Leonardo mehrere Jahre lang (um 1470–1477) unter anderem in Gesellschaft von Lorenzo di Credi und anderen weniger berühmt gewordenen Schülern. Unter seinen Zeitgenossen freundete er sich mit den Malern Sandro Botticelli und Pietro Perugino an. Er hatte bald alles gelernt, was Verrocchio ihm beibringen konnte – oder gar mehr noch, sofern man die oft erzählte Geschichte von der Figur oder den Figuren glauben kann, die angeblich vom Schüler ausgeführt wurden. Gleiches berichtete auch Vasari, als Architekt auch ein Pionier unter den Kunstchronikern und Zeitgenosse Leonardos. :Das fragliche Bild von Christi Taufe, das Verrocchio für die Mönche von Vallombrosa entwarf, ist jetzt in der Akademie in Florenz zu sehen. Laut Vasari wurde der auf der linken Seite knieende Engel von Leonardo eingefügt. Als Verrocchio diesen sah, erkannte er die große künstlerische Überlegenheit gegenüber seinem eigenen restlichen Werk, was ihn angeblich dazu veranlasste, der Malerei für immer abzuschwören. Dieser letzte Teil der Geschichte ist aber sicher unzutreffend. Das ursprünglich in Tempera gemalte Bild hat leider viele spätere Übermalungen in Öl erdulden müssen, so dass ein fundiertes zeitgenössisches Urteil schwierig ist. Kompetente Stimmen neigen dazu, die Hand Leonardos nicht nur im Gesicht des Engels, sondern auch in Teilen der Bekleidung und des landschaftlichen Hintergrunds, welche sehr charakteristisch und in seinen zugeschriebenen Werken wiederzuerkennen ist, anzuerkennen. Das Werk wurde wahrscheinlich um 1470 angefertigt, als Leonardo 18 Jahre alt war. Um 1472 findet sich sein Name in den Listen der St.-Lukas-Gilde, der Malergilde von Florenz. Hier lebte und arbeitete er weitere zehn oder elf Jahre und wird bis 1477 immer noch als Schüler oder Lehrling Verrocchios bezeichnet. Doch in diesem Jahr scheint er in die besondere Gunst Lorenzo de Medicis gekommen zu sein und als unabhängiger Künstler unter dessen Patronage von 1482 bis 1483 gearbeitet zu haben. Für 1478 ist ein wichtiger Auftrag der Signoria und 1480 ein anderer von den Mönchen von San Donato in Scopeto dokumentiert.

Leonardo als Schüler der Natur

Leonardo war keiner der Renaissancekünstler, die die Pracht der antiken Kunst durch die Imitation von antiken Modellen wiederzubeleben suchten. Die Antiquitäten in den Medici-Gärten scheinen wenig Einfluss auf ihn ausgeübt zu haben, abgesehen davon, dass sie seinen Perfektionismus stimulierten. Nach seinen eigenen Instinkten war er lediglich Schüler der Natur. Von seinen ersten Tagen an hatte er sich mit vorher nicht da gewesenem Eifer und Lust an diese Studien gemacht. Er war der erste Maler, der das Spiel von Licht und Schatten als wichtige Erscheinung erkannte, nachdem frühere Schulen übereinstimmend Licht und Schatten der Farbe und den Konturen untergeordnet hatten. Er war auch kein Student der gewöhnlichen und offenkundigen Erscheinungen der Welt. Besonders ihre fantastischen und ungewöhnlichen Erscheinungen zogen ihn am meisten an. Merkwürdige Formen von Hügeln und Felsen, seltene Pflanzen und Tiere, ungewohnte Gesichter und Figuren von Menschen, zweifelhafte Mienen und Lächeln, ob schön oder grotesk, und Kuriositäten waren die Dinge, über die er gerne grübelte und die er im Gedächtnis behielt. Er machte auch nicht vor der oberflächlichen Erscheinung jeglicher Art halt, sondern versuchte unermüdlich, ihre versteckten Gesetze und Ursachen zu ergründen. Er war davon überzeugt, dass ein Künstler, der sich damit zufrieden gab, die äußerlichen Aspekte der Dinge zu reproduzieren, ohne nach den versteckten Vorgängen der Natur hinter ihnen zu suchen, für seine Berufung nur halb ausgestattet war. Jedes neue künstlerische Problem wurde für ihn sogleich auch ein weit gehendes wissenschaftliches Problem. Die Gesetze von Licht und Schatten, die Gesetze der Perspektive einschließlich der Optik und der Physiologie des Auges, die Gesetze der menschlichen und tierischen Anatomie und der Muskelbewegung, diejenigen des Wachstums und der Struktur von Pflanzen und der Eigenschaften des Wassers, all diese und noch mehr verschaffte seinem unersättlichen Forschungsgeist fast von Beginn an Nahrung. Indizien für die Vorlieben und Neugierden des jungen Manns findet man in den Legenden über verlorene Werke aus seiner Jugend.
- Eines davon war ein monochromes Gemälde von Adam und Eva in Tempera, und darin werden neben der Schönheit der Figuren die unendliche Wahrhaftigkeit und Ausschmückung der Blätter und Tiere im Hintergrund in Begriffen gelobt, die an die Behandlung des Themas durch Albrecht Dürer in seinem dreißig Jahre später gefertigten berühmten Stich erinnern.
- Nach einer anderen Geschichte soll ein Bauer aus Vinci in seiner Naivität Ser Pier nach einem auf einem Holzschirm gemalten Bild gefragt haben; der Vater soll den Auftrag lachend an seinen Sohn weitergereicht haben. Dieser schloss sich daraufhin mit jeglichen schädlichen Insekten und grotesken Reptilien, die er finden konnte, ein. Er beobachtete, zeichnete und sezierte sie emsig und produzierte schließlich das Bild eines Drachen, der aus ihren verschiedenen Formen und Aussehen zusammengesetzt war, und der so grimmig und realistisch wirkte, dass alle davor erschraken.
- Mit gleichen Untersuchungen und nicht geringerer Wirkung malte er bei einer anderen Gelegenheit den Kopf einer Medusa mit Schlangenhaar.
- Schließlich wird von Leonardo berichtet, dass er zu dieser Zeit mit Bildhauerei anfing, indem er mehrere Köpfe von lächelnden Frauen und Kindern modellierte. An gesicherten und akzeptierten Malereien von dem jungen Genie, ob während seiner Lehrzeit oder seiner unabhängigen Jahre in Florenz (um 1470-1482), sind wenige noch vorhanden, und die beiden wichtigsten sind unvollständig.
- Ein kleiner und reizvoller Streifen einer rechteckigen Verkündigung ist allgemein als seine Arbeit anerkannt und stammt von kurz nach 1470; eine Zeichnung in den Uffizien, die in größerem Maßstab dem Kopf der Jungfrau in dem gleichen Bild entspricht, scheint eher eine Kopie von späterer Hand zu sein.
- Die kleine Verkündigung im Louvre passt im Stil nicht mit einer anderen und größeren, oft diskutierten Verkündigung in den Uffizien zusammen, die eindeutig aus der Werkstatt Verocchios um 1473-1474 stammt, und die viele Kritiker selbstsicher dem jungen Leonardo zuschreiben. Es könnte sich um eine gemeinsame Atelierarbeit von Verocchio und seinen Schülern einschließlich Leonardo handeln; sicherlich war dieser daran beteiligt, denn eine Studie für den Ärmel des Engels (in Christ Church, Oxford erhalten) ist fraglos von seiner Hand. Die Landschaft mit ihren geheimnisvollen spiralförmigen Bergen und gewundenen Wasserläufen ist sehr leonardesque, sowohl in diesem Bild als auch in einem anderen zeitgenössischen Produkt der Werkstatt, oder, wie einige meinen, aus der Hand Leonardos, nämlich eine sehr vollendete Madonna mit Nelke in München. Weitere Werke dieser Zeit sind:
- Das Bildnis von Ginevra de Benci, das er laut Aufzeichnungen gemalt hat, ist traditionell als das schöne Porträt einer Matrone im Palazzo Pitti identifiziert worden, das absurderweise als La Monaca bekannt ist. Später hat man es in einem recht matten, ausdruckslosen verrocchiesquen Porträt einer jungen Frau mit einem fantasievollen Hintergrund erkannt, das sich heute in der National Gallery of Art, Washington befindet. Beide Zuordnungen kann man nicht als überzeugend bezeichnen.
- Mehrere Bildhauereiwerke, darunter ein Bas-Relief in Pistoia und ein kleines Terrakottamodell eines St. Johannes im Victoria and Albert Museum (?) sind ebenfalls ohne allgemeine Zustimmung als Handwerk des jungen Meisters ausgegeben worden.
- Von den vielen brillanten frühen Zeichnungen von ihm ist das erste datierbare eine Landschaftsstudie von 1473.
- Eine prächtige Silberstiftzeichnung eines römischen Kriegers im British Museum ist eindeutig von oder für ein Bas-Relief unter unmittelbarem Einfluss Verrocchios entstanden.
- Eine Reihe von Studien von Köpfen mit Stift oder Silberstift, mit einigen Entwürfen von Madonnen, einschließlich einer reizenden Serie im British Museum für eine Madonna mit der Katze, könnten zu den gleichen Jahren oder den ersten Jahren seiner Unabhängigkeit gehören.
- Ein Bogen mit zwei Kopfstudien trägt eine Notiz von 1478, die besagt, dass er in einem der letzten Monate dieses Jahres die Zwei Köpfe begann. Einer der beiden könnte das Bild der Erscheinung der Jungfrau des Heiligen Bernhard sein, von dem wir wissen, dass es in dem Jahr für eine Kapelle im Palast der Signoria in Auftrag gegeben wurde, ohne beendet zu werden. Der Auftrag wurde nachher an Filippino Lippi übertragen, dessen Ausführung sich in der Badia befindet. Einer der beiden Köpfe auf diesem datierten Bogen könnte wahrscheinlich eine Studie für den gleichen Heiligen Bernhard sein; sie wurde später für einen Heiligen Leonard in einer steifen und faden Himmelfahrt Christi verwendet, die im Berliner Museum fälschlicherweise dem Meister selbst zugeordnet wurde.
- Eine Stiftzeichnung, die Bernardo Baroncelli darstellt, einen Anführer der Pazzi-Verschwörung, wie er nach seiner Auslieferung an die Abgesandten von Florenz durch den osmanischen Sultan aus einem Fenster des Bargello hängt, kann wegen seines Themas auf den Dezember 1479 datiert werden.
- Eine Reihe seiner besten Zeichnungen der folgenden Jahre sind vorbereitende Stiftstudien für ein Altarbild der Anbetung der Weisen, das Anfang 1481 im Auftrag der Mönche von San Donato in Scopeto angefertigt wurde. Der monochrome Entwurf für dieses Bild, ein Werk außergewöhnlicher Kraft sowohl in der Zeichnung als auch im physiognomischen Ausdruck, ist in den Uffizien erhalten, aber das Altarbild selbst ist nie ausgeführt worden. Nachdem Leonardo diesen Auftrag nicht ausführte, musste auch hier an seiner Stelle Filippino Lippi eingesetzt werden.
- Von gleicher oder sogar stärkerer Kraft, wenn auch kleinerem Umfang, ist ein unvollendeter monochromer Entwurf für einen Heiligen Jerome, der zufällig von Kardinal Fesch in Rom gefunden wurde und sich jetzt in den Galerien des Vatikans (?) befindet; er scheint zur ersten Florentiner Phase zu gehören, ist aber in keinem Dokument erwähnt. Die Geschichte der vollendeten Werke dieser zwölf oder vierzehn Jahre (ungefähr 1470-1483) ist also sehr spärlich. Man muss sich aber in Erinnerung rufen, dass Leonardo schon völlig von Projekten in Mechanik, Hydraulik, Architektur, Militärtechnik und Bauwesen ausgefüllt war und seine Aufgabe in experimentellen Studien und Beobachtungen in jedem Zweig der theoretischen oder angewandten Wissenschaft sah, und zwar sowohl in solchen, die in seinem Zeitalter begonnen worden waren, als auch in solchen, in dem er selbst der erste Pionier war. Er war voller neuer Ideen über die Gesetze und Anwendungen mechanischer Kräfte. Seine architektonischen und technischen Projekte waren von einer Kühnheit, die selbst seine Mitbürger Alberti und Brunelleschi erstaunte. In der Geschichte gibt es wenige Figuren, die vor dem geistigen Auge anziehender sind als die Leonardos während der Phase seiner vielseitigen und schillernden Jugend. Tatsächlich wurde er sogar verleumdet und wegen unmoralischer Praktiken denunziert, aber vollkommen und ehrenhaft freigesprochen. Im Gegensatz zum späteren Michelangelo gab es an ihm nichts Düsteres, Geheimnisvolles oder Mürrisches; er war offen und freundlich zu jedermann. Er hat die selbstgenügsame Kraft der Einsamkeit in fast den gleichen Worten wie Wordsworth gepriesen, und von Zeit zu Zeit sonderte er sich selbst in seiner Jugend für eine Saison in völliger intellektueller Absorption ab, zum Beispiel als er zwischen Fledermäusen, Wespen und Echsen arbeitete, dabei Schlafen und Essen vergaß. Leider müssen wir den schriftlichen Überlieferungen und der eigenen Fantasie vertrauen, um eine Vorstellung von ihm zu gewinnen. Es ist kein Porträt Leonardos aus dieser Zeit seines Lebens überliefert. Seine weit reichenden Pläne und Studien brachten ihm keinen unmittelbaren Gewinn und lenkten ihn von den Aufgaben ab, mit denen er sich seinen Lebensunterhalt hätte bestreiten können. Trotz seiner glänzenden Fähigkeiten und seines Talents blieb er arm. Wahrscheinlich machte ihm sein ausschließlicher Glaube an experimentelle Methoden und seine Geringschätzung für reine Autorität – sowohl in der Wissenschaft als auch in der Kunst – die intellektuelle Atmosphäre des Medici-Zirkels unsympathisch, mit ihrem gemischten Kult aus klassischer Vergangenheit und Christentum, mystisch vermischt und versöhnt mit dem Platonismus. In jedem Fall war er sofort bereit, Florenz zu verlassen, als ihm am Hof von Ludovico Sforza in Mailand die Chance für einen festen Dienst angeboten wurde. Bald nachdem der Fürst seine Macht als nomineller Protektor seines Neffen Gian Galeazzo Sforza – tatsächlich aber als usurpierender Herrscher des Staats – fest etabliert hatte, griff er ein Projekt zur Errichtung eines Reitermonuments zu Ehren des Gründers des Herrscherhauses Francesco I. Sforza wieder auf und fragte Lorenzo di Medici um Rat bei der Wahl eines Künstlers. Lorenzo empfahl den jungen Leonardo, der sich entsprechend um 1483 nach Mailand begab. Zu dieser Zeit standen Feindseligkeiten zwischen Mailand und Venedig unmittelbar bevor; dem ist es zweifellos zu verdanken, dass Leonardo im Empfehlungsschreiben an den Herzog, der seine Fähigkeiten darlegte, seinen Anspruch auf Patronage hauptsächlich auf seine Fähigkeiten und Erfindungen in der Militärtechnik begründet. Nachdem er diese in neun Punkten im Detail vorbrachte, sprach er in einem zehnten von seinem Können als Bauingenieur und Architekt und fügte schließlich einen kurzen Abschnitt mit einem Hinweis hinzu, was er in Bezug auf Malerei und Bildhauerei könne, insbesondere bei einer angemessenen Ausführung des Monuments für Francesco Sforza.

Mailand

Der erste eindeutige dokumentarische Beweis für Leonardos Beschäftigung in Mailand ist datiert von 1487. Einige Biografen vermuten, dass der Zeitraum zwischen 1483 und 1487, oder wenigstens ein Teil davon, von Reisen in den Osten beansprucht war. Die Begründung dieser Annahme sind einige Entwürfe in seinen Manuskripten für einen Brief an den Diodario von Syrien, Leutnant des Sultans von Babylon (Babylon bezeichnete zu der Zeit Kairo). In diesen Entwürfen beschreibt Leonardo in der ersten Person, mit Skizzen, die seltsamen Erfahrungen eines Reisenden in Ägypten, Zypern, Konstantinopel, den kilikischen Küsten beim Taurus-Gebirge und Armenien. Er berichtet vom Aufstieg und der Verfolgung eines Propheten und Predigers, der Katastrophe eines Bergsturzes und dem Untergang einer großen Stadt, gefolgt von einer allgemeinen Überflutung, und von der Behauptung des Propheten, diese Katastrophen vorausgesagt zu haben. Danach folgen wissenschaftliche Beschreibungen des Flusses Euphrat und des wunderbaren Effekts des Lichts beim Sonnenuntergang im Taurus-Gebirge. Von keinem Zeitgenossen gibt es den kleinsten Hinweis auf Leonardos Reise in den Osten; für die von ihm erwähnten Orte benutzt er die klassischen, nicht ihre gegenwärtigen orientalischen Namen; die von ihm beschriebenen Katastrophen werden von keiner anderen Quelle bestätigt; er verwechselt Taurus und Kaukasus; einige der von ihm erwähnten Phänomene sind von Aristoteles und Ptolemäus wiederholt; und es gibt wenig Grund, daran zu zweifeln, dass diese Passagen in seinen Manuskripten lediglich Entwürfe für eine geplante geografische Abhandlung oder vielleicht einen Roman sind. Er hatte eine Leidenschaft für Geografie und Reiseerzählungen, für Beschreibungen von Naturwundern und untergegangenen Städten und war selbst ein geübter fiktiver Erzähler und Fabulierer, wie andere Passagen in seinen Manuskripten beweisen. Auch ist die Lücke in den Überlieferungen seiner Tätigkeiten, nachdem er das erste Mal nach Mailand gekommen war, nicht so groß wie dargestellt. Ludovico wurde während der frühen Jahre seiner Usurpation heftig angegriffen, insbesondere von den Anhängern seiner Schwägerin Bona von Savoyen, der Mutter des rechtmäßigen Herzogs, des jungen Gian Galeazzo. Um diesen Attacken zu entgegnen, beschäftigte er eine Reihe von Hofdichtern und Künstlern, die in öffentlichen Vorträgen und Schauspielen, in sinnbildlichen Bildern und Spruchbändern die Weisheit und Güte seiner Vormundschaft und die Bosheit seiner Gegner verkündeten. Dass Leonardo zu diesen derart eingesetzten Künstlern gehörte, ist durch Notizen und Projekte in seinen Manuskripten und durch überlieferte allegorische Skizzen bewiesen. Mehrere solcher Skizzen befinden sich in der Christ Church, Oxford: eine zeigt eine gehörnte Hexe oder Teufelin, die ihre Hunde zu einem Angriff auf den Staat Mailand treibt und durch die Weisheit und Gerechtigkeit von Il Moro verwirrt wird (wobei all dies durch leicht erkennbare Embleme klar gemacht wird). Die Anspielung weist fast sicher auf die versuchte Ermordung Ludovicos durch Agenten der Herzogin Bona 1484 hin. Weiterhin muss es die in Mailand wütende Pest 1484-1485 gewesen sein, die ihm den Anlass für seine Ludovico vorgelegten Projekte gaben, nach denen die Stadt unterteilt und nach verbesserten sanitären Prinzipien wiederaufgebaut werden sollte. Auch in die Jahre 1485-1486 scheint der Beginn seiner ausgefeilten – wenn auch unerfüllten – Pläne zur Verschönerung und Verstärkung des Castello zu fallen. Bald darauf muss er mit seinen Plänen und Modellen für eine weitere bedeutsame Unternehmung begonnen haben, der Vollendung des Mailänder Doms, für die ein Wettbewerb zwischen deutschen und italienischen Architekten ausgeschrieben worden war. Überlieferte Dokumente über Zahlungen an ihn in Zusammenhang mit diesen architektonischen Plänen erstrecken sich zwischen August 1487 und Mai 1490: am Ende wurde keiner von ihnen ausgeführt. Von Anbeginn seines Aufenthalts in Mailand hatte seine Kombination beispielloser technischer Findigkeit mit passender allegorischer Erfindungsgabe, höfischem Charme und Eloquenz ihn zum führenden Geist in allen Hofzeremonien und Festivitäten gemacht. Anlässlich der Hochzeit des jungen Herzogs Gian Galeazzo mit Isabella von Aragon 1487 war Leonardo für die Bühnenbilder und Kostüme der Masque Il paradiso verantwortlich; und gleich darauf entwarf er für die junge Herzogin einen Badepavillon von unerhörter Schönheit und Raffiniertheit. Inzwischen füllte er seine Notizbücher so fleißig wie immer mit den Ergebnissen seiner Studien in Statik und Dynamik, in menschlicher Anatomie, Geometrie und den Phänomenen von Licht und Schatten. Es ist wahrscheinlich, dass er von Anfang an nicht seine große Aufgabe des Sforza-Monuments vergessen hatte, mit ihren begleitenden Forschungen über die Bewegung und Anatomie von Pferden, und über die Wissenschaft und Kunst der Bronzebearbeitung in großem Maßstab. Die vielen existierenden Entwürfe für diese Arbeit (von denen die Hauptsammlung in Windsor ist) können nicht exakt datiert werden. 1490, im siebten Jahr seines Aufenthalts in Mailand war er nach einigen Ungeduldsbekundungen seines Patrons so weit und bereitete sein Modell anlässlich der Heirat Ludovicos mit Beatrice d'Este zur Vorführung vor. Im letzten Moment war er aber mit seiner Arbeit unzufrieden und begann, noch einmal von vorn anzufangen. Im gleichen Jahr, 1490, verbrachte Leonardo ungestört einige Monate mit mathematischen und physikalischen Forschungen in den Bibliotheken und unter den Gelehrten in Pavia. Hierhin war er als Berater hinsichtlich einiger architektonischer Schwierigkeiten beim Bau der Kathedrale berufen worden. Hier gab ihm auch das Studium eines antiken Reitermonuments (dem so genannten Regisole, der 1796 zerstört wurde) neue Ideen für seinen Francesco Sforza. Im Januar 1491 wurden bei einer doppelten Sforza-Este-Heirat (Ludovico Sforza selbst mit Beatrice d'Este, Alfonso d'Este mit Anna Sforza, der Schwester von Gian Galeazzo) seine Dienste als Masque- und Festmeier erneut in Anspruch genommen. In den folgenden Jahren gab ihm die zunehmende Festlichkeit und Prachtliebe des Mailänder Hofs fortwährend Aufträge ähnlicher Art, darunter die Komposition und Rezitierung von Sagen, Fabeln und Prophezeiungen (d. h. moralische und soziale Satiren und Allegorien, die in der Zukunftsform formuliert waren); in seinen Manuskripten tauchen die Entwürfe für viele davon auf, einige davon sowohl scharfsinnig als auch beißend. Inzwischen arbeitete er wieder am Monument für Francesco Sforza, und dieses Mal mit handfestem Ergebnis. Als Abgesandte aus Österreich gegen Ende 1493 nach Mailand kam, um die verlobte Braut Bianca Maria Sforza ihres Kaisers Maximilian auf ihrer Hochzeitsreise zu eskortieren, befand sich das vollendete kolossale, mehr als 7 Meter hohe Denkmal schließlich an seinem Platz im Hof des Castello. Zeitgenössische Berichte bestätigen die Großartigkeit des Werks und den Enthusiasmus, den es erregte; aber die Berichte sind zu unpräzise, um beurteilen zu können, welcher der beiden überlieferten Skizzensammlungen seine Form entsprach. Eine dieser Sammlung zeigt Pferd und Reiter in relativ ruhigem Gang, in der Art des Gattemalata-Monuments, das fünfzig Jahre zuvor von Donatello in Padua errichtet worden war, und des Colleoni-Monuments, mit dem Verocchio in Venedig engagiert war. Eine andere Gruppe von Skizzen zeigt das Pferd galoppierend oder sich aufbäumend, in einigen Fällen beim Trampeln auf einem gefallenen Feind. Es ist außerdem nicht möglich, die Skizzen für das Sforza-Monument mit Sicherheit von denen für eine andere und später in Auftrag gegebenes Reiterstatue zu unterscheiden, nämlich die zu Ehren von Ludovicos großem Feind Gian Giacomo Trivulzio.

1494

Gian Giacomo Trivulzio] Das Jahr 1494 war von großer Tragweite für die italienische Politik. In diesem Jahr starb der lange von seiner Herzogsnachfolge verdrängte Gian Galeazzo unter höchst verdächtigen Umständen. In jenem Jahr fing Ludovico, jetzt selber Herzog von Mailand, zur Stärkung seiner Macht gegen Neapel mit seinen Intrigen mit Karl VIII. von Frankreich an, was später zu einer Flut von Invasionen und Revolutionen in Italien führte. Das gleiche Jahr war eines von besonderer Wichtigkeit für die erstaunlich vielseitigen Aktivitäten von Leonardo da Vinci. Laut Dokumenten plante er während einer mehrmonatigen Abwesenheit aus der Stadt Ingenieursarbeiten für die Verbesserung der Bewässerung und der Wasserwege der Lomellina- und anderer Region der lombardischen Ebene; er studierte Phänomene des Sturms und Gewitters, des Flussverhaltens und der Bergstruktur; und er kooperierte mit seinem Freund Donato Bramante, dem großen Architekten, bei neuen Entwürfen für die Verbesserung und Ausschmückung des Castello in Mailand. Weiterhin bat er den Herzog, ihm eine angemessene Bezahlung für eine Madonna sicherzustellen, die er kurz vorher mit der Hilfe seines Schülers Ambrogio de Predis für die Bruderschaft der Unbefleckten Empfängnis von San Francesco in Mailand ausgeführt hatte. Dabei handelt es sich um die Felsgrottenmadonna, die entgegen den Wünschen der Bruderschaft mit Jesus und Johannes dem Täufer ohne Gold und Heiligenscheine in einer kalten und leblosen Höhle dargestellt ist. 1499 gelangte dieses Gemälde nach Frankreich und ist heute im Louvre zu sehen. Als Ersatz wurde eine leicht modifizierte Version angefertigt (heute in der National Gallery in London). Wenn wir Vasari Glauben schenken, stattete Leonardo im gleichen Jahr 1494, oder Anfang des nächsten, Florenz einen Besuch ab. Dort nahm er an Beratungen über den geplanten neuen Ratssaal teil, der im Palast der Signoria gebaut werden sollte. Schließlich machte sich Leonardo ernsthaft an ein Werk, das sich nicht nur als seine großartigste, sondern auch bei weitem am schnellsten und stetigsten ausgeführte Malereiarbeit herausstellen sollte. Dies war das Letzte Abendmahl, das er für das Refektorium der Konventskirche von Santa Maria della Grazie in Mailand auf gemeinsamen Auftrag (wie es scheint) von Ludovico und der Mönche selbst anfertigte.

Cenacolo (Abendmahl)

Das Bild Das Abendmahl in der Santa Maria delle Grazie in Mailand, das weltberühmte Cenacolo von Leonardo, ist Gegenstand vieler falscher Legenden und vieler fehlgeleiteter Experimente gewesen. Nachdem es aufbauend auf technische Unzulänglichkeiten am Beginn durch die Jahrhunderte hindurch furchtbare Beschädigungen erlitt, durch verheerende atmosphärische Bedingungen, Vandalismus und Nachlässigkeit, am meisten aber durch ungeschickte Reparaturen, sind seine Überreste schließlich (1904-1908) auf wissenschaftlicher Grundlage so behandelt worden, dass für uns und für die Nachwelt ein großer Teil seiner Kraft wiederhergestellt worden ist. Zur gleichen Zeit ist seine wahre Geschichte erforscht worden. Die Intensität der intellektuellen und manuellen Mittel, die Leonardo in das Werk einbrachte, zeigt sich in der Tatsache, dass er es innerhalb von vier Jahren beendete, trotz all seiner anderen Nebentätigkeiten und trotz seiner andauernden Pausen des Rückzugs und des selbstkritischen Brütens, für die wir direktes Zeugnis von Zeitgenossen haben. Er malte das Bild auf der Wand in Tempera und nicht in Öl, wie eine Legende behauptete, die innerhalb zwanzig Jahren nach der Fertigstellung aufkam. Die Tempera-Trägersubstanz, die vielleicht neue experimentelle Bestandteile enthielt, hielt nicht lange auf dem Gipsuntergrund fest, und dieser auch nicht auf der Wand. Es kam zur Abblätterung und Schuppenbildung. Es bildeten sich harte Krusten aus Schimmel, lösten sich auf und bildeten sich aber je nach Wetterlage sowohl auf den lockeren als auch auf den festen Teilen erneut wieder aus. Diese Prozesse gingen Jahrzehnt für Jahrzehnt weiter. Ein Regen aus winzigen Schuppen ging laut einem Augenzeugen ständig von der Oberfläche herunter, bis das Bild gänzlich zugrunde zu gehen schien. Im 18. Jahrhundert wurden erste Restaurationsversuche unternommen. Sie alle gründeten auf der falschen Annahme aus den frühen Jahren des 16. Jahrhunderts, dass das Werk in Öl ausgeführt worden sei. Demgemäß wurde es einmal mit Öl getränkt, in der Hoffnung, die Farben wiederzubeleben. Andere Experimentierer versuchten es mit verschiedenen Geheimnissen, zum größten Teil mit schädlichen Klebstoffen und Lacken. Zum Glück wurden außer an einigen Teilen der Gewänder nicht viele der Übermalereien fertig gestellt. Die Hauptoperationen sind von Bellotti 1726, Mazza 1770 und von Barezzi 1819 und in den folgenden Jahren durchgeführt worden. Keine davon stoppte, einige beschleunigten sogar die natürlichen Auflösungserscheinungen. Dennoch hinterließ dieser Geist eines Bildes, halb aufgelöst wie es war, immer wieder einen unbeschreiblich tiefen Eindruck. Tempera Leonardos Letztes Abendmahl wurde trotz aller Beschädigungen sofort, und ist es bis heute geblieben, die typische Darstellung dieser Szene. Johann Wolfgang von Goethe hat in seiner berühmten Kritik alles darüber gesagt, was zu sagen ist. Der Maler ist von früheren Darstellungen der Szene abgewichen, indem er die Jünger mit dem Meister in der Mitte gruppierte, entlang der Längsseite und den beiden Enden eines langen, schmalen Tischs, und indem er die andere Längsseite für den Betrachter frei ließ. Der Raum wird in einer perfekt symmetrischen Perspektive gesehen, wobei die Rückwand durch drei flache Öffnungen durchstoßen wird, die ein Gefühl für stille Distanz und Geheimnis von der offenen Landschaft dahinter vermitteln. Die zentrale und breiteste der drei Öffnungen rahmt den Kopf und die Schultern des Erlösers ein. Zu seiner Rechten und Linken sind die Jünger in gleicher Zahl angeordnet. Die Möblierung und die Ausstattung der Kammer sind mit gewissenhafter Genauigkeit und Klarheit wiedergegeben; trotzdem überlassen sie den menschlichen und dramatischen Elementen die absolute Beherrschung der Szene. Die Gelassenheit der heiligen Gesellschaft ist innerhalb eines Augenblicks durch die Worte ihres Meisters unterbrochen worden, "Einer von euch wird mich verraten". Im Aufruhr ihrer Gefühle haben die Jünger Gruppen entlang des Tischs gebildet, die aus jeweils drei Jüngern bestehen, wobei jede Gruppe harmonisch durch eine natürliche Handlung mit der nächsten verkettet ist. Wenn Leonardo auch kein spezieller Student der Griechen war, hat er doch perfekt das griechische Prinzip der ausdrucksvollen Vielfalt durch eine allgemeine Symmetrie untergeordnete Einzelheiten ausgeführt. Er hat all sein erworbenes Wissen über Perspektive ausgenutzt, um eine fast vollständige Illusion für das Auge zu schaffen, aber eine Illusion, die in sich nichts triviales hat, und die durch die Erhöhung unseres Sinns für die materielle Realität der Szene nur ihren tiefen spirituellen Eindruck erhöht. Von den authentischen Vorstudien für das Werk sind nur wenige überliefert. Im Louvre gibt es ein Blatt, das aus einer Zeit lange vor der ersten Idee oder dem Auftrag für dieses spezielle Bild stammt, und das einige Skizzen für die Anordnung des Themas enthält; ein späteres und weiter fortgeschrittenes, aber wahrscheinlich auch vor den eigentlichen Auftrag zu datierendes befindet sich in Venedig; und eine Manuskriptseite von großem Interesse im Victoria and Albert Museum, auf der der Maler schriftlich die dramatischen Motive notiert hat, die zu den jeweiligen Jüngern passen. In Windsor und Mailand sind einige fertig gestellte Studien in roter Kreide für die Köpfe. Eine hoch angesehene Reihe von lebensgroßen Kreidezeichnungen der gleichen Köpfe, von denen der größere Teil sich in Weimar befindet, besteht aus früheren Kopien und ist interessant, obwohl sie nicht als original gelten kann. Kaum weniger zweifelhaft ist die gefeierte unvollendete und beschädigte Studie des Kopfs Christi im Brera, Mailand. Neben dem christlichem Thema verbirgt sich noch eine astrologische/ astronomische Darstellung in diesem Bild. Die Apostel stellen die einzelenen Symbole des Tierkreiszeichen dar. Der Apostel links außen verkörpert das Sternzeichen Fische. In der mittelalterlichen Medizin wurden den Füßen das Sternzeichen Fische zu geschrieben und der linke Apostel ist der einzige, dessen Füße man klar erkennen kann. Das bedeutet also, das man von rechts nach links die Sternbilder ablesen kann, die von der Sonne einmal im Jahr durchlaufen werden.(Übrigens nimmt man an, dass der zweite Apostel von rechts Leonardo da Vinci höchst selbst darstellt, der ja bekanntlich im Sternzeichen Stier geboren wurde. Zudem war er Linkshänder und schrieb wahrscheinlich aus Gründen der Sauberkeit in Spiegelschrift. Aus diesem Grund muss man, meiner Meinung nach, das Bild von rechts nach links betrachten.) Zudem bilden die Apostel Dreiergruppen, welche die einzelnen Jahreszeiten markieren. Auffällig dabei ist die dritte Gruppe mit Johannes, Judas und Petrus (Waage,Skorpion und Schütze). Zwischen Judas und Petrus tritt eine Hand mit einem Messer in Erscheinung, die auf Grund der Körperhaltung von Johannes und Petrus weder der einen noch der anderen Person zugeordnet werden kann. Diese Hand stellt das 13. Sternenbild, den Schlangenträger dar. Die Betonung liegt hier auf Sternenbild, das heißt auf dem astronomischen Begriff. Das Fehlen des Zeichens im astrologischem Tierkreis wird mit der geringen Leuchtkraft seiner Sterne begründet. Eine weitere Theorie ist, dass die Figur rechts neben Jesus Maria Magdalena darstellt. Sie hat eindeutig weichere Gesichtszüge, zartere, gefaltete Hände, und auf größeren Abbildungen des Gemäldes ist auch ein leichter Brustansatz zu erkennen. Desweiteren sind Jesus und Maria Magdalena komplett komplementär gekleidet, d.h. Jesus trägt ein rotes Untergewand und einen blauen Mantel und Maria Magdalena ein blaues Untergewand und ein roten Mantel. Kompositorisch betrachtet bildet sich der Buchstabe "M" zwischen den beiden Figuren, was erstens als Matrimonium ( lateinisch fuer "Ehe") oder zweitens, als "Maria Magdalena" gedeutet werden kann. Außerdem kann man erkennen, dass Petrus, der von jeher als Widersacher Maria Magdalenas galt, sie in dem Gemälde praktisch "einen Kopf kuerzer macht", indem seine ausgestreckte Hand genau auf der Höhe ihres Halses verläuft. Diese Theorien wurden von der Kirche immer abgelehnt, weil sie davon ausgeht, dass Maria Magdalena eine Hure und nicht die Frau Jesus' war, worauf obere Theorien beruhen.

Sforza-Monument

Leonardos Triumph mit seinem Letzten Abendmahl ermutigte ihn dazu, mit der Bearbeitung des Sforza-Monuments fortzufahren, dessen Modell für die letzten drei Jahre zur Bewunderung aller Betrachter im Corte Vecchio des Castello gestanden hatte. Er war mit Luca Pacioli und Borgo San Sepoicro, eine neue und enge Freundschaft eingegangen. Der große Mathematiker Sepoicro, dessen Summa de aritmetica, geometrica etc. er bei der Ersterscheinung in Pavia Neugier erworben hatte, war am Hof von Mailand ungefähr zur Zeit der Vollendung des Cenacolo angekommen. Pacioli war gleichermaßen erstaunt und erfreut über Leonardos beiden großen Errungenschaften in Skulptur und Malerei, und mehr noch über das Genie für mathematische, physikalische und anatomische Forschungen, das sich in den Manuskriptsammlungen zeigte, die der Meister ihm zeigte. Die zwei begannen zusammen an den Materialien für Paciolis nächstes Buch De divina proportione zu arbeiten. Leonardo erhielt Paciolis Hilfe bei Berechnungen und Messungen für die große Aufgabe der Bearbeitung des Bronzepferds und Reiters. Aber er wurde bald von Ludovico für eine andere Unternehmung in Anspruch genommen, die Fertigstellung der Innendekoration, die bereits von anderer Hand begonnen worden war, bestimmter Kammern des Castello, des Saletta Negra und des Sala delle Asse. Als im letzten Jahrzehnt des 19. Jahrhundert das Gebäude gründlich untersucht und repariert wurde, erhielt der ausländische Student Paul Müller-Walde die Erlaubnis, unter den neu verputzten und getünchten Raumdecken Spuren von Leonardos Handwerk freizulegen, das mit diesem Auftrag identifiziert werden könnte. In einer kleinen Kammer wurde ein Zierstreifen mit Cupidos vermischt mit Blattwerk freigelegt; aber nach dieser konnte nur der Hand eines späteren und nachlässigen Dekorators der Schule zugeschrieben werden, der von Raffael ebenso wie von Leonardo beeinflusst war. In einem anderen Raum (Sala del Tesoro) wurde eine gigantische kopflose Figur wieder entdeckt, in aller Wahrscheinlichkeit von Merkur, die zuerst Leonardo zugeschrieben wurde, dann aber wahrlich richtigerweise Bramante. Aber im großen Sala delle Asse wurden reichlich Spuren von Leonardos eigener Hand gefunden. Hinreichende Anteile der Dekoration wurden in gutem Erhaltungszustand gefunden, so dass das Ganze restauriert werden konnte. Für diese und andere künstlerische Arbeiten wurde Leonardo 1498 mit der Schenkung eines Gartens außerhalb der Porta Vercelli belohnt, zu einer Zeit, als Geld nur mit Schwierigkeit floss und sein Gehalt lange im Rückstand war. Aber wiederum bekam er nicht die Erlaubnis, diese Aufgabe zum Ende zu bringen. Er wurde als leitender Militäringenieur (ingegnere camerale) abberufen und mit der speziellen Aufgabe betraut, die Kanäle und Wasserwege des Herzogtums zu inspizieren und zu pflegen. Gefahren zogen sich über Ludovico und dem Staat Mailand zusammen. Frankreich war Ludovicos Feind geworden; und Ludwig XII., der Papst und Venedig hatten ein Bündnis gebildet, um sein Fürstentum unter sich aufzuteilen. Er rechnete damit, sie mit der Bildung einer Gegenallianz der norditalienischen Fürstentümer aufhalten zu können, und indem er die Türken gegen Venedig und die Deutschen und Schweizer gegen Frankreich aufwiegelte. Allerdings kam es ungelegenerweise zum Krieg zwischen Deutschen und Schweizern. Ludovico reiste nach Innsbruck, um seine Interessen besser vorantreiben zu können (September 1499). In seiner Abwesenheit marschierte Ludwig XII. ins Milanese ein, und die Offiziere, die zur Bewachung der Stadt zurückgelassen worden waren, übergaben sie ohne Widerstand. Der eingefallene Souverän begab sich mit seinem Gefolge nach Santa Maria della Grazie, um das berühmte Gemälde des Abendmahls zu bewundern, und fragte, ob es nicht von der Wand abgenommen und nach Frankreich transportiert werden könne. Der französische Leutnant in Mailand, Gian Giacomo Trivulzio, erbitterter Feind Ludovicos, begann mit der Ausübung einer rachsüchtigen Tyrannei über die Stadt, die so lange die Gewalt des Usurpators erduldet hatte. Große Künstler waren gewöhnlich von den Konsequenzen von politischen Revolutionen ausgenommen, und so beauftragte Trivulzio früher oder später Leonardo mit dem Entwurf eines Reiterdenkmals für ihn selbst. Leonardo, der während der zwei Monate des neuen Regimes ungestört in Mailand geblieben war, der aber wusste, dass Ludovico einen Schlag zur Wiederherstellung seiner Macht vorbereitete, und dass erneuter Aufruhr folgen würde, hielt es für das beste, für seine eigene Sicherheit zu sorgen. Im Dezember verließ