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Moment (Physik)

Moment (Physik)

In der Mechanik bezeichnet man als Moment ein entgegengesetzt gerichtetes, gegeneinander versetztes, gleich großes Kräftepaar, sowie jede andere Belastung, die auf einen Körper dieselbe Wirkung ausübt. Im technischen Bereich existiert eine Nomenklatur, in der das Drehmoment eine spezielle Momentart bezeichnet. Im allgemeinen Gebrauch des Begriffs Drehmoment umfasst dieser Begriff auch das, was hier unter Moment definiert wird. Die Größe des Moments ist das Produkt aus einer der beiden Kräfte und dem Abstand der beiden parallelen Geraden voneinander, in denen die beiden Kräfte wirken. Diesen Abstand bezeichnet man als Hebelarm. Das Moment ist im allgemeinsten Sinne außerdem ein Vektor, der rechtwinklig zu der Ebene zeigt, die von einem der beiden Kraftvektoren und einem Vektor parallel zum Hebelarm aufgespannt wird (s. Kreuzprodukt). Die Richtung des Moment-Vektors ist per Definition diejenige Richtung, in der eine Schraube mit Rechtsgewinde fortschreiten würde. Man bezeichnet dies auch als Rechte-Hand-Regel: die gekrümmten Finger zeigen in Drehrichtung, und der Daumen in Richtung des Momentenvektors. Die physikalische Dimension ist demnach das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat ein Moment die (abgeleitete) Maßeinheit Newtonmeter (Nm), gleichbedeutend mit

\frac

. Anmerkung: Die Einheit des Momentes ist die einer Arbeit (Energie). Allerdings muss das Moment um einen Winkel drehen, um Arbeit zu leisten, das Moment ist also mit dem dimensionslosen Winkel (in der 'Einheit' Rad) zu multiplizieren. Folgendes praktische Beispiel veranschaulicht, wie man sich ein Moment vorstellen kann. Man versucht, ein altes, sehr verrostetes Motorrad auseinanderzunehmen und möchte gerne eine horizontal angeordnete, festgerostete Innensechskantschraube lösen. Klugerweise hat man den Innensechskantschlüssel mit einem ca. 1m langen Stahlrohr verlängert. Nehmen wir an, dieser Hebelarm zeigt nach links, muss also herabgedrückt werden. Falsch ist es, das Ende des Hebelarms mit aller Gewalt abwärts zu drücken und den Innensechskantschlüssel an der Schraube nur ein wenig festzuhalten, denn die andere Kraft des Kräftepaars wird dann von der Schraube selbst aufgebracht - sie reagiert genauso, als ob man ein Sechskantprofil hineinstecken und sich draufstellen würde. Der Innensechskant wird auf Biegung beansprucht und zerstört. Richtig dagegen ist, mit der linken Hand das Rohr am Ende abwärts zu drücken und mit der rechten Hand dicht an der Schraube genauso stark aufwärts zu ziehen. Dann leitet man keine Kraft, sondern nur ein Moment in die Schraube ein, und sie löst sich. Eine Kraft

\vec

, die in einem Punkt A angreift, kann man mit einer gleichen Kraft

\vec

und entgegengesetz gleicher Kraft

\vec

ergänzen, die beide im Punkt B angreifen und sich dort gegenseitig aufheben. Betrachtet man nun

\vec

als eine von A nach B verschobene Version der Kraft

\vec

, ergibt sich, dass zusätzlich ein Moment aus dem Kräftepaar

\vec

und

\vec

entsteht. Das Moment ist in der folgenden Skizze ein Vektor, der in die Ebene hineinzeigt, und beträgt

\overrightarrow \times \vec

, also das Kreuzprodukt aus dem Ortsvektor des Kraftangriffspunktes und dem Kraftvektor. (Vektoren in der folgenden Skizze durch Fettdruck gekennzeichnet.) A A A P ---->o o P ---->o | | | | = | + | | | | o Q ---->o o<---- R B B B Wenn an einem Körper sehr viele Kräfte

\vec_1,\vec_2,\vec_3,\ldots

in den Punkten

\vec_1,\vec_2,\vec_3,\ldots

wirken, rechnet man sie in diesem Sinne auf einen gemeinsamen Bezugspunkt

\vec_0

um, indem man sie alle dorthin verschiebt und gleichzeitig die Momente :

\vec_1 = (\vec_1-\vec_0)\times\vec_1

\vec_2 = (\vec_2-\vec_0)\times\vec_2

\vec_3 = (\vec_3-\vec_0)\times\vec_3

\ldots

einführt. Wenn der Körper irgendwo befestigt ist, schneidet man ihn (in Gedanken) frei und bezieht die Schnittlasten in die Betrachtung mit ein. Schnittlasten sind die von der weggeschnittenen Umgebung auf den Körper ausgeübten Kräfte und Momente. Der Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn nicht nur alle (in den gemeinsamen Bezugspunkt umgerechneten) Kräfte in der Summe null sind, sondern auch alle Momente (die beim Verschieben der Kräfte in den Bezugspunkt hinzukommen): :

\sum_ \vec_i = 0\;,\quad \sum_\vec_i = \sum_(\vec_i-\vec_0)\times\vec_i = 0

Anderenfalls wird der Körper durch die Kräfte und Momente translatorisch und/oder rotatorisch beschleunigt. Hierbei wählt man als körperfesten Bezugspunkt am zweckmäßigsten den Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) am Ort

\vec_G

. Ein beliebiger Punkt des Körpers hat die Geschwindigkeit :

\frac=
\frac
+\vec \times (\vec-\vec_G)\,,

wobei der Drehgeschwindigkeitsvektor

\vec

nach der Rechte-Hand-Regel in Richtung des Daumens zeigt, wenn die Fingerspitzen in Drehrichtung zeigen. Aus dem zweiten newtonschen Gesetz („Kraft = Masse mal Beschleunigung“) ergibt sich der Schwerpunktsatz :

m \frac = \sum_ \vec_i.

Der Drallsatz :

\frac(\Theta \cdot \vec) = 
\Theta \cdot \frac
+ \vec \times (\Theta \cdot \vec)=
\sum_ \vec_i\,.

kann unter der Annahme, dass zwischen den Punktmassen nur zentrale Kräfte wirken (d.h. die Kräfte zwischen den Punktmassen wirken entlang der Verbindungslinie) durch Integration über alle Punktmassen hergeleitet werden. Es sei deshalb angemerkt, daß der Drallsatz nicht bewiesen werden kann. Darin ist m die Masse des Körpers.

ist der Massenträgheitstensor, im Allgemeinen ein Tensor zweiter Stufe, darstellbar als 3×3 Matrix. Seine Komponenten sind die im körperfesten System zeitlich konstanten Massenträgheits- und Deviationsmomente. Im einfachsten Fall, wenn der Körper sich um eine raumfeste Achse dreht, die doppelt symmetrisch ist (d.h. beide Symmetrieebenen schneiden sich in der Drehachse), vereinfacht sich der Drallsatz zu „Massenträgheitsmoment mal Drehbeschleunigung = Momentensumme“ in Analogie zu „Masse mal Beschleunigung = Kräftesumme“. In Wellen, Trägern und anderen Balken unterscheidet man die Schnittmomente
- Biegemoment, Momentenvektor quer zur Achse, Balken wird gekrümmt
- Torsionsmoment, Momentenvektor in Achsrichtung, Balken wird verdrillt Man betrachtet dabei einen Teil des Balkens, von dem der restliche Balken (in Gedanken) weggeschnitten wurde, und definiert die Schnittkräfte und Schnittmomente als Komponenten des Kraftvektors und des Momentenvektors, den der weggeschnittene Teil auf das Schnittufer ausübt.

Literatur

- Istvan Szabó: Einführung in die Technische Mechanik, Springer, 1999, ISBN 3540442480
- Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mechanik, Vieweg, 1994, ISBN 352828904X

Siehe auch

- Portal:Physik
- Drehmoment ja:モーメント Kategorie:Mechanik

Mechanik

Die Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik und befasst sich mit der Bewegung von Körpern und der Einwirkung von Kräften. Die Grundgesetze der Mechanik wurden von Galileo Galilei (1564 - 1642) und Isaac Newton (1643 - 1727) entwickelt. Bis in das 19. Jahrhundert nahm man an, dass sämtliche physikalischen Erscheinungen ihren Ursprung in mechanischen Vorgängen haben. Deshalb wird dieser Bereich heute die "Klassische Mechanik" oder oft auch "Newtonsche Mechanik" genannt. Sie ist die Physik sich bewegender Objekte der alltäglichen Art und beschreibt beispielsweise den freien Fall von Objekten, Planetenbewegungen oder Bewegungen Starrer Körper (z.B. Kreisel). Man weiß heute, dass in vielen Gebieten der Physik eigene Gesetzmäßigkeiten bestehen und die Mechanik in der Formulierung von Newton nur eine Näherung darstellt, die z.B. für relativistische Systeme angepasst werden muss. Dennoch bleibt die Mechanik mit ihren Begriffen, wie Masse und Kraft, eine Grundlage der Physik und vor allem sämtlicher technischer Anwendungen. Nach ihrem Untersuchungsgegenstand kann man die Mechanik einteilen in
- Mechanik der festen Körper
- Mechanik der Flüssigkeiten
- Mechanik der Gase Eine feinere Einteilung ergibt sich durch Berücksichtigung der zugrunde liegenden theoretischen Konzepte:
- Klassische Mechanik
- Statik (beschreibt die Kraftverteilung in einem ruhenden System)
- Kinematik (beschreibt die Bewegung von Körpern ohne Berücksichtigung der wirkenden Kräfte)
- Dynamik (beschreibt das Verhalten und die Kräfte in bewegten Körpern)
- Schwingungslehre
- Technische Mechanik
- Statik
- Festigkeitslehre (Elastostatik)
- Dynamik
- Maschinendynamik
- Kontinuumsmechanik
- Bodenmechanik (beschreibt Verformungen und Spannungen in Kontinua (z.B. Halbräumen) mit Stoffgesetzen, die den realen Stoffgesetzen von Böden nahekommen)
- Materialwissenschaft (erarbeitet mathematische Materialgesetze, die realen Materialgesetzen möglichst nahe kommen sollen und die in komplexen Berechnungen mit vernünftigem Rechenaufwand noch verwendbar sein sollen)
- Statistische Mechanik (beschreibt das Verhalten von Vielteilchensystemen, z.B. in der Thermodynamik)
- Spezielle Relativitätstheorie (für Systeme, deren Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit ist)
- Allgemeine Relativitätstheorie
- Quantenmechanik (für Systeme im atomaren Bereich)
- Strömungsmechanik
- Hydrostatik
- Hydrodynamik
- Aerodynamik
- Gasdynamik

Siehe auch

- Mechanismus
- Feinmechanik
- Mechatronik

Weblinks

Kategorie:Mechanik Kategorie:Physik ja:力学

Drehmoment

Als Drehmoment bezeichnet man die physikalische Größe, die bei der Beeinflussung einer Drehbewegung wirkt.

Definition

Wirkt auf einen starren Körper eine Kraft, so wird er beschleunigt: Seine Geschwindigkeit wird verändert. Er führt eine geradlinige oder (z.B. unter Einfluß der Gravitation) gekrümmte Bewegung = Translationsbewegung aus. Wird der Körper an einem Punkt festgehalten, so ist keine Translationsbewegung mehr möglich. Die Bewegungsmöglichkeit des Körpers reduziert sich dann auf Rotationsbewegungen (Drehungen) um diesen Punkt. Die Größe, die diese Drehbewegung beeinflusst, d.h. die die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit verursacht, heißt Drehmoment. Eine einzelne Kraft

\vec F_1

kann keine reine Drehbewegung verursachen. Eine Veränderung der Drehbewegung ohne Änderung der Translationsbewegung ist erst möglich, wenn ein Kräftepaar angreift. Die zweite Kraft wird z.B. durch die drehbare Befestigung des Körpers aufgebracht. Ist die zweite Kraft entgegengesetzt gleich der ersten Kraft,

\vec F_2=-\vec F_1

, so ist die resultierende Kraft auf den Körper Null und die Translationsbewegung ändert sich nicht. Trotzdem bewirkt das Kräftepaar ein Drehmoment und dadurch eine Veränderung der Drehbewegung. Dabei ist neben der Größe der beiden Kräfte

\vec F_1

und

\vec F_2

auch der Abstand der beiden Punkte, an denen die Kräfte angreifen, von Bedeutung. Der Abstand

\vec r

ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft

\vec F_2

zum Angriffspunkt von

\vec F_1

zeigt. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente

r'

von

\vec r

bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft

\vec F_1

(oder

\vec F_2

) steht.

r'

ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken. Der Betrag des Drehmoments ist dann das Produkt von

|\vec F_1|

mit

r'

, und die Richtung des Drehmoments ist senkrecht zu der Ebene, die durch die Kraft

\vec F_1

und den Abstandsvektor

\vec r

aufgespannt wird, und zwar in der Richtung, in die der Daumen zeigt, wenn man mit den gekrümmten Fingern der rechten Hand in Richtung der durch das Drehmoment hervorgerufenen Drehbewegung zeigt. Dieser Zusammenhang zwischen den auf den Körper wirkenden Kräften, dem Abstandsvektor der beiden Angriffspunkte und dem Drehmoment (in Betrag und Richtung) wird in kompakter Form durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ausgedrückt. In dieser Darstellung erhält man für das Drehmoment

\vec M

die Definition: :

\vec M =\vec r\times\vec F_1

. Die physikalische Dimension des Drehmoments ist damit das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat es die (abgeleitete) Maßeinheit Newtonmeter (

\mathrm

D'Alembertsches Prinzip

Wirkt auf einen Körper eine von Null verschiedene resultierende Kraft, z.B. weil nur eine einzige Kraft

\vec F_1

von außen einwirkt, so wird der Körper nach dem 2. Newtonschen Gesetz beschleunigt. Nach dem d'Alembertschen Prinzip wird dies im beschleunigten Bezugssystem so beschrieben, dass eine Trägheitskraft (Scheinkraft)

\vec F_t = -m\vec a

berücksichtigt wird. Wenn die Wirklinie der Kraft

\vec F_1

nicht durch den Schwerpunkt geht, dann bilden

\vec F_1

und

\vec F_t

ein Kräftepaar, das ein Drehmoment erzeugt (obwohl im beschleunigten Bezugssystem die Summe aller Kräfte einschließlich der Trägheitskraft Null ergibt!). Die Beschreibung des gleichen Vorgangs im ruhenden System (Inertialsystem) kommt ohne Trägheitskräfte aus. Hier bewirkt

\vec F_1

sowohl eine Beschleunigung als auch ein Drehmoment

\vec M =\vec r\times\vec F_1

und damit eine Winkelbeschleunigung (Beispiel: Anschneiden eines Balles durch seitliches Treten). Siehe auch: Hauptartikel D'Alembertsches Prinzip

Reale Körper

Reale Körper sind keine starren Körper. Das Modell des starren Körpers kann hier nur angewandt werden, wenn die durch die Einwirkung des Drehmoments hervorgerufene Deformation (z.B. Torsion) des Körpers vernachlässigbar klein ist. Die Definition des Drehmoments selbst lässt sich jedoch auch auf den Fall übertragen, der die Deformation des Körpers einschließt. Zur Unterscheidung dieses Falles von dem der reinen Drehbewegung wird in der Technik die Größe, die auch die Deformation einschließt, als Moment bezeichnet. Nur im Fall der reinen Drehbewegung kann von Drehmoment gesprochen werden.

Beispiel

Moment Ein praktisches Beispiel zur Veranschaulichung des Drehmoments ist das Lösen einer festsitzenden Schraube. Wenn die Schraube horizontal angeordnet ist und man einen Schraubenschlüssel von einem Meter Länge so auf die Schraube aufsetzt, dass der Hebelarm nach links weist, so kann man zum Lösen der Schraube auf diese ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 1 m) ausüben, wenn man das Ende des Schraubenschlüssels mit einer Kraft von 100 N nach unten drückt. Die Schraube muss dabei eine rückhaltende Kraft von 100 N in entgegengesetzter Richtung (nach oben) aufbringen, was z.B. zu einem Verkanten/Verbiegen der Schraube führen kann. Diese Situation wird mit einem kürzeren Schraubenschlüssel noch verschärft. Um mit einem halb so langen Schlüssel das selbe Drehmoment aufzubringen wird eine Kraft und Gegenkraft von 200 N benötigt (200 N · 0,5 m). Diese zusätzliche Belastung der Schraube kann komplett verhindert werden, wenn man einen Schlüssel verwendet, dessen auf die Schraube aufzusetzender Sechskant sich in der Mitte des Hebelarms des Schlüssels befindet. Wenn man bei diesem an beiden Enden mit einer Kraft von 100 N in entgegengesetzter Richtung zieht und der Schlüssel eine Länge von einem Meter besitzt, so wird auch hier ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 0,5 m + 100 N · 0,5 m) ausgeübt, aber ohne dass die Schraube die Rückhaltekraft aufbringen muss. Wenn man einen solchen Schlüssel nicht zur Hand hat, so kann man die Schraube auch dadurch entlasten, dass man mit der gleichen Kraft, mit der man das linke Hebelende nach unten drückt, am anderen Ende (dicht an der Schraube) nach oben zieht.

Vergleich mit der Translationsbewegung

Das Verständnis des Drehmoments kann ein Vergleich der bei einer Drehbewegung auftretenden Größen mit den charakteristischen Größen der Translationsbewegung erleichtern: Das Massenträgheitsmoment

J

, oder auch kurz Trägheitsmoment ist allgemein nicht konstant, und kann allgemein auch nicht als Skalar dargestellt werden, sondern vielmehr als Tensor 2. Stufe, dem Trägheitstensor. Der Punkt über einer Größe besagt, dass es sich hier um deren Zeitliche Änderung (Ableitung

\frac

) handelt, z.B.

\dot

, der zeitlichen Änderung des Drehimpulses:

\vec M=\dot\vec L=\frac

Unterschiedliches Auftreten des Drehmoments

In der Technik ist es gebräuchlich, dem Drehmoment unterschiedliche Bezeichnungen zu geben, je nachdem in welchem Zusammenhang sie wirken: Man unterscheidet je nach der Richtung, in der Leistung fließt, zweierlei Drehmomente: # Antriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine etwas antreibt und Leistung abgibt. # Abtriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine angetrieben wird und Leistung aufnimmt.
- Antriebsmoment eines Motors
- Abtriebsmoment eines Generators, eines Kompressors oder einer Pumpe
- Antriebsmoment und Abtriebsmoment eines Getriebes
- Anfahrmoment einer Gasturbine
- Anzugsmoment einer Schraube
- Drehmoment in der Propellerwelle eines Schiffes Bei den folgenden Größen geht es nicht um die Bewegung, sondern um die Belastung und Deformation der Körper; in der Technik werden sie daher nicht als Drehmoment, sondern als Moment bezeichnet:
- Biegemoment in einem Stahlträger
- Torsionsmoment in einer Welle
- Einspannmoment eines Kragträgers
- krängendes Moment des Windes auf ein Segelboot

Weblinks

- [http://www.lorenz-messtechnik.de/artikel/entw-dre.htm Entwicklung und Zukunft der Drehmomentmesstechnik]
- [http://www.e31.de/torque.html Drehmoment und Leistung beim Auto]

Siehe auch

- Moment Kategorie:Mechanik ja:力のモーメント ms:Tork

Rechte-Hand-Regel

Die Rechte-Hand-Regel oder auch UVW-Regel ist eine anschauliche Merkhilfe für Rechtssysteme in der Physik. Dabei werden gerichtete Größen (Vektoren) betrachtet. Vektor So wird diese Regel häufig gebraucht, um das Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum zu veranschaulichen. Gilt:

\vec a\times\vec b = \vec c

so lassen sich die Richtungen von

\vec a,\vec b,\vec c

in dieser Reihenfolge als die Zeigerichtungen von an der rechten Hand abgespreizten Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger ansehen. Dabei muss der Mittelfinger senkrecht zu Daumen und Zeigefinger stehen.

Beispiel der Lorentzkraft

:bild:Lorentzkraft.PNG Für die Lorentzkraft gilt:

\vec F_m = q(\vec v\times\vec B)

(q: Ladungsträger, auf den die Kraft wirkt) bzw.

\vec F_m = I(\vec l\times\vec B)

(l: stromdurchflossenes Leiterstück)

Der Daumen zeigt in Richtung der Ursache (technische Stromrichtung I bzw. Bewegungsrichtung der Ladung

+q

(z.B. Proton). Der Zeigefinger zeigt in Richtung der magnetischen Feldlinien, also der Vermittlung (B-Feld

\vec B

) Der Mittelfinger entspricht der Wirkung. (Kraft

\vec F_m

) Daher auch der Name UVW-Regel.

Siehe auch

- Linke-Hand-Regel
- Korkenzieherregel Kategorie: Theoretische Elektrotechnik Kategorie: Magnetismus

Newtonmeter

Ein Newtonmeter ist eine abgeleitete SI-Einheit für das Drehmoment (Torsion) und ein herleitende Bezeichnung für Joule, in beiden Fällen wird die Kraft von einem Newton mit der Strecke von einem Meter multipliziert.

Drehmoment

Beim Drehmoment wird die Länge des Hebels mit der Kraft multipliziert.

Arbeit

Die Arbeit wird in Joule über die Strecke von einem Meter wobei die Kraft von einem Newton aufzuwenden ist, definiert.

Auto

Jeder Hub erzeugt ein Drehmoment (T), dennoch wird dort keinerlei Leistung (P) abgegeben. Für die Leistungsabgabe wird die Drehzahl (ω) benötigt:

P[\rm]=T[\rm] \cdot \omega[\frac] \cdot 0,10472[\frac]

Der Faktor ergibt sich aus dem Umfang einer Umdrehung im Bogenmaß (2·π), dem Umrechnungsfaktor für die Leistung von Watt in Kilowatt (1/1000) und der Zeit von Minuten in Sekunden (1/60) (1 W·s = 1 J = 1 N·m):

\frac~=104,719\,755\,120\cdot 10^\frac

. Entsprechend für Pferdestärken:

P[\rm]=T[\rm] \cdot \omega[\frac] \cdot 0,000142[\frac]

\frac~=142,379\,242\,819\cdot 10^\frac

. Diese Berechnung lässt sich in jedem Drehmoment-Leistung-Diagramm nachvollziehen. Aus dem Drehmoment(Drehzahl)-Diagramm lässt sich eindeutig das Leistung(Drehzahl)-Diagramm errechnen und umgekehrt. Es sind zwei Darstellungsweisen desselben Sachverhalts. Am Drehmomentdiagramm lässt sich die Charakteristik eines Verbrennungsmotors lediglich leichter ablesen. Leistungsangaben ohne Nennung der Drehzahl sind vergleichbar. Drehmomentangaben ohne Nennung der Drehzahl im Zweifel aber nicht, wenn es sich um sehr unterschiedliche Motortypen handelt. Kategorie:SI-Einheit ja:ニュートンメートル

Tensor

Ein Tensor ist in der Mathematik ein geometrisches, unter Koordinatentransformationen invariantes, Objekt, das aus Vektoren und/oder linearen Abbildungen aufgebaut ist. Es gibt eine aufsteigende Folge immer komplexerer Tensoren. Tensoren 0. Stufe sind Skalare, Tensoren 1. Stufe sind Vektoren, Tensoren 2. Stufe sind quadratische Matrizen und so weiter. Zum Beispiel lässt sich das Trägheitsmoment eines starren Körpers durch eine quadratische Matrix darstellen und entspricht somit einem Tensor 2. Stufe. In der Physik verwendet man das Wort Tensor oft abkürzend als Bezeichnung für ein Tensorfeld, also eine Abbildung, die jedem Punkt des Raums (allgemeiner: einer Mannigfaltigkeit) einen Tensor zuordnet; jede physikalische Feldtheorie handelt von Tensorfeldern. Das Teilgebiet der linearen Algebra, das von Tensoren handelt, wird ohne klare Bedeutungsunterscheidung als Tensorrechnung, Tensoralgebra oder multilineare Algebra bezeichnet. Die Tensoranalysis behandelt Differentialoperationen auf Tensorfeldern über Mannigfaltigkeiten.

Wort- und Begriffsgeschichte

Das Wort Tensor (lat.: tendo ich spanne) wurde in den 1840er Jahren von Hamilton in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, also noch keinen Tensor im modernen Sinn. Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben. In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix, wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt. Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten; einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch calcolo differenziale assoluto zugänglich, das bald in andere Sprachen übersetzt wurde und aus dem sich Einstein unter großer Mühe die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er erfand überdies die einsteinsche Summationskonvention, nach der über doppelt auftretende Indizes stillschweigend summiert wird.

Anwendungen

Tensoren und Tensorfelder werden in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik und Physik angewandt. Diese Anwendungen sind von sehr unterschiedlicher Komplexität:
- in einigen Fällen genügt es, sich Tensoren als eine Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix vorzustellen; in anderen Fällen steht die Invarianz eines Tensors unter Koordinatentransformationen im Vordergrund;
- in einigen Fällen ist es erforderlich, zwischen ko- und kontravarianten Tensoren zu unterscheiden (mehr dazu unten), in anderen Fällen ist diese Unterscheidung irrelevant. Man muss deshalb damit rechnen, dass Tensoren in verschiedenen Anwendungsgebieten verschieden definiert, verschieden notiert und verschieden gehandhabt werden. Wichtige Anwendungsgebiete umfassen:
- Algebra: Tensorprodukte sind die algebraische Entsprechung zum kartesischen Produkt geometrischer Objekte.
- Analysis: Die in der Taylorentwicklung einer Funktion in mehreren Veränderlichen ::

f(x+h)\approx f(x)+f'(x)(h)+\frac1 f

(x)(h,h)+\frac1 f(x)(h, h, h)+\ldots :auftretenden multilinearen Ableitungen $f^(x)$ kann man als symmetrische, rein kovariante Tensoren aufsteigender Stufe auffassen.
- Differentialgeometrie: Differentialformen und Vektorfelder auf einer Mannigfaltigkeit sind spezielle Tensorfelder, ebenso Riemannsche Metriken.
- Physik und Ingenieurwissenschaften: Die physikalische Bedeutung von Tensoren liegt darin begründet, dass Naturgesetze, die durch Tensorgleichungen ausgedrückt werden, in beliebigen Koordinatensystemen die gleiche Gestalt haben. Die Tensorsprache erweist sich als besonders zweckmäßig
- in der Elastizitätstheorie, Kontinuumsmechanik, Hydrodynamik;
- in der Elektrodynamik und Speziellen Relativitätstheorie;
- sie ist unentbehrlich zum Verständnis der Allgemeinen Relativitätstheorie.
Erste Annäherung: Tensoren als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix
Für manche Anwendungen, zum Beispiel in der Elastizitätstheorie und fast überall in den Ingenieurwissenschaften, ist es vollkommen ausreichend, sich Tensoren als eine Fortsetzung der Reihe Skalar, Vektor, Matrix vorzustellen. Dabei unterscheidet man Tensoren verschiedener Stufe (auch Rang genannt):
- Ein Tensor nullter Stufe ist einfach eine Zahl, auch Skalar genannt.
- Ein Tensor erster Stufe wird durch einen Spaltenvektor dargestellt. Im n-dimensionalen Raum hat ein solcher Tensor genau n Koeffizienten.
- Ein Tensor zweiter Stufe wird durch eine quadratische Matrix dargestellt, also ein Zahlenschema, in dem jeder der n² Koffizienten des Tensors durch zwei Indizes bezeichnet ist (Beispiele: Arbeitsblatt in einem Tabellenkalkulationsprogramm; zweidimensionales Pixelbild)
- Ein Tensor dritter Stufe ließe sich durch eine würfelförmige Anordnung seiner n³ Koeffizienten darstellen, die durch je drei Indizes "adressiert" werden (Arbeitsmappe in der Tabellenkalkulation; Videosequenz [Pixelbilder mit zusätzlicher Zeitkoordinate]).
- Ein Tensor m-ter Stufe hat dementsprechend nm Koeffizienten, die mit Hilfe von m Indizes auseinander gehalten werden. Für diese Objekte sind zwei Operationen definiert, die Verjüngung und die Überschiebung, wobei die Verjüngung als Überschiebung mit der Einheitsmatrix gesehen werden kann. Die einfache Überschiebung eines Tensors a der Stufe 2 mit einem Tensor b der Stufe 1 ist nichts weiter als die normale Matrix-Vektor-Multiplikation : $(a_,b_k)\mapsto \sum_j a_b_j$ . Überschiebt man 2 Tensoren 3. Stufe in einem Index, so entsteht ein Tensor 4. Stufe. Die Verjüngung eines Tensors 2. Stufe entspricht der Berechnung der Spur einer Matrix: : $a_\mapsto \sum_i a_$ ; durch Verjüngen eines Tensors 3. Stufe entsteht ein Tensor 1. Stufe.
Tensorbegriff der Mathematik
In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten. Es sei $K$ ein Körper, also beispielsweise $K=\mathbb R$ oder $K=\mathbb C,$ und es seien $V_1,V_2,\ldots,V_s$ Vektorräume über $K$ . Das Tensorprodukt $V_1\otimes\cdots\otimes V_s$ von $V_1,\ldots,V_s$ ist ein $K$ -Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form : $v_1\otimes\cdots\otimes v_s,\quad v_i\in V_i,$ sind. Dabei gelten für diese Symbole die folgenden Rechenregeln:
- $v_1\otimes\cdots\otimes(v_i'+v_i$ )\otimes\cdots\otimes v_s :

=(v_1\otimes\cdots\otimes v_i'\otimes\cdots\otimes v_s)+(v_1\otimes\cdots\otimes v_i

\otimes\cdots\otimes v_s)
- $v_1\otimes\cdots\otimes(\lambda v_i)\otimes\cdots\otimes v_s
=\lambda(v_1\otimes\cdots\otimes v_i\otimes\cdots\otimes v_s),\quad\lambda\in K$ Die Tensoren der Form $v_1\otimes\cdots\otimes v_s$ heißen elementar. Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht. Ist $\$ eine Basis von $V_i$ (für $i=1,\ldots,s$ ; $d_i=\dim V_i$ ), so ist : $\$ eine Basis von $V_1\otimes\cdots\otimes V_s.$ Die Dimension von $V_1\otimes\cdots\otimes V_s$ ist also das Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume $V_1,\ldots,V_s.$
Tensorprodukte und Multilinearformen
Der Dualraum von $V_1\otimes\cdots\otimes V_s$ kann mit dem Raum der $s$ -Multilinearformen : $V_1\times\cdots\times V_s\to K$ identifiziert werden:
- Ist $\lambda\colon V_1\otimes\cdots\otimes V_s\to K$ eine Linearform auf $V_1\otimes\cdots\otimes V_s,$ so ist die entsprechende Multilinearform :: $(v_1,\ldots,v_s)\mapsto\lambda(v_1\otimes\cdots\otimes v_s).$
- Ist $\mu\colon V_1\times\cdots\times V_s\to K$ eine $s$ -Multilinearform, so ist die entsprechende Linearform auf $V_1\otimes\cdots\otimes V_s$ definiert durch :: $\sum_^kv_1^\otimes\cdots\otimes v_s^\mapsto\sum_^k\mu(v_1^,\ldots,v_s^).$ Sind alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional, so kann man : $(V_1\otimes\cdots\otimes V_s)^ - \quad\mathrm\quad V_1^ - \otimes\cdots\otimes V_s^ -$ miteinander identifizieren, d.h. Elemente von $V_1^ - \otimes\cdots\otimes V_s^ -$ entsprechen $s$ -Multilinearformen auf $V_1\times\cdots\times V_s.$

(r,s)-Tensoren

Es sei $V$ ein fester endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ . Elemente von : $\begin(V^ - )^\otimes V^ &=& \underbrace&\otimes&\underbrace\\&& r && s\end$ heißen (r,s)-Tensoren oder Tensoren der Stufe (r,s). Beispielsweise sind (0,0)-Tensoren Skalare, (0,1)-Tensoren Elemente des Vektorraums und (1,0)-Tensoren Linearformen auf $V$ . (1,1)-Tensoren können mit Endomorphismen von V und (2,0)-Tensoren mit Bilinearformen auf V identifiziert werden (siehe unten). Für (r,s)-Tensoren gibt es drei wichtige Konstruktionen:
- Einem (r,s)-Tensor kann auf verschiedene Weisen ein $(r-1,s-1)$ -Tensor gebildet werden: Für $1\leq i\leq r$ und $1\leq j\leq s$ wird einem Tensor :: $\lambda_1\otimes\cdots\otimes\lambda_i\otimes\cdots\otimes\lambda_r\otimes v_1\otimes\cdots\otimes v_j\otimes\cdots\otimes v_s$ :der Tensor :: $\lambda_i(v_j)\cdot(\lambda_1\otimes\cdots\otimes\lambda_ \otimes\lambda_\otimes\cdots\otimes\lambda_r\otimes v_1\otimes\cdots\otimes v_\otimes v_\otimes\cdots\otimes v_s)$ : zugeordnet. Dieser Vorgang heißt Kontraktion oder Spurbildung: im Falle von (1,1)-Tensoren entspricht die Abbildung :: $V^ - \otimes V\to K$ :unter der Identifizierung $V^ - \otimes V=\mathrm\,V$ der Spur eines Endomorphismus.
- Aus einem $(r_1,s_1)$ -Tensor und einem $(r_2,s_2)$ -Tensor kann ein $(r_1+r_2,s_1+s_2)$ -Tensor gebildet werden: :: $((V^ - )^\otimes V^)\otimes((V^ - )^\otimes V^)\cong(V^ - )^\otimes V^.$
- Ist auf $V$ ein Skalarprodukt gegeben, so können $V$ und $V^ -$ miteinander identifiziert werden, es gibt also Entsprechungen zwischen $(r,s)$ -Tensoren und $(r+k,s-k)$ -Tensoren. ; Beispiel Es sei $g$ ein (2,0)-Tensor und $X,Y\in V$ zwei Vektoren. Dann ist : $g\otimes X\otimes Y$ ein (2,2)-Tensor, der durch zweimalige Spurbildung ein Element von $K$ liefert. Da alle diese Konstruktionen multilinear sind, definiert $g$ also eine Bilinearform : $V\times V\to K,$ (2,0)-Tensoren können also mit Bilinearformen identifiziert werden.
Beispiele

- Die Determinante von $(n\times n)$ -Matrizen, aufgefasst als alternierende Multilinearform der Spalten, ist ein (n,0)-Tensor.
- Lineare Abbildungen $V\to W$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen können als Elemente von $V^ - \otimes W$ aufgefasst werden. In der Differentialgeometrie spielen Tensorfelder eine wichtige Rolle: Ist $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so ist ein Tensorfeld auf $M$ eine Abbildung, die jedem Punkt einen Tensor zuordnet. Meist werden auch noch gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften gefordert. Beispiele sind:
- Differentialformen vom Grad $k$ , insbesondere das totale Differential einer Funktion im Fall $k=1$ , sind Schnitte von $\!^k\,\mathrm T^ - M\subseteq(\mathrm T^ - M)^.$
- Riemannsche Metriken sind (2,0)-Tensoren.
- Der riemannsche Krümmungstensor ist ein (3,1)-Tensor, der mithilfe der riemannschen Metrik als (4,0)-Tensor aufgefasst werden kann. Siehe auch Tensoralgebra, äußere Algebra, symmetrische Algebra.
Ko- und Kontravarianz als Eigenschaften von Abbildungen
Sei $V$ ein fester $K$ -Vektorraum und $W$ ein beliebiger weiterer $K$ -Vektorraum. Eine lineare Abbildung $f:W \to V$ heißt kovariant bezüglich $V$ , eine lineare Abbildung $g:V \to W$ heißt kontravariant in $V$ . Eine Quelle der Verwirrung über diese Begriffe ist, dass in der Physik und älteren Lehrbüchern davon gesprochen wird, dass sich die Matrizen dieser Abbildungen ko- bzw. kontravariant unter Basiswechsel transformieren. Jedoch kehren sich dabei die Zuordnungen um - eine kovariante Abbildung hat eine Matrix, die kontravariant bzgl. Basiswechsel ist und umgekehrt. Grundlegende Beispiele:
- Ein Vektor $\mathbf \in V$ ist mit der Abbildung $i:K \to V$ zu identifizieren, welche $K$ auf die Gerade $x \mapsto x\cdot \mathbf$ mit der Richtung $\mathbf$ abbildet. Ein Vektor ist also kovariant.
- Ein Kovektor $\mathbf^ - \in V^ -$ ist als lineares Funktional $\mathbf^ - :V \to K$ definiert, somit ist er kontravariant in $V$ .
Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie
Man kann das Tensorprodukt $\mathcal T^2V:=V\otimes V$ eines Vektorraumes V mit sich selbst bilden. Ohne weiteres Wissen über den Vektorraum kann ein Automorphismus des Tensorprodukts definiert werden, der darin besteht, in den reinen Produkten $a\otimes b$ die Faktoren zu vertauschen, : $\Pi_(a\otimes b):=b\otimes a$ . Das Quadrat dieser Abbildung ist die Identität, woraus Folgt, dass es Eigenvektoren zum Eigenwert 1 und zum Eigenwert -1 gibt.
- Ein $w\in U\otimes V$ , welches $\Pi_(w):=w$ erfüllt, heißt symmetrisch. Beispiele sind die Elemente ::w=a⊙b:= $\frac12(a\otimes b+b\otimes a)$ . ::Die Menge aller symmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit $\mathcal S^2V=(1+\Pi_)(V\otimes V)$ bezeichnet.
- Ein $w\in U\otimes V$ , welches $\Pi_(w):=-w$ erfüllt, heißt antisymmetrisch oder alternierend. Beispiele sind die Elemente :: $w=a\wedge b:=\frac12(a\otimes b-b\otimes a)$ . ::Die Menge aller antisymmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit $\Lambda^2V:=(1-\Pi_)(V\otimes V)$ bezeichnet. Mittels $\mathcal T^V:=V\otimes \mathcal T^nV$ können Tensorpotenzen von V beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So läßt sich jede Vertauschung der Stellen j und k auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen. : $\Pi_=\Pi_\circ\Pi_\circ\Pi_$
Tensorbegriff der Physik
Tensoren im physikalischen Sinne sind multilineare Abbildungen in einen Körper $K$ : : $T:V_1^\times V_2^\times\dots\times V_s^\to K$ . $V_1, \dots\ , V_s$ sind jeweils Vektorräume über dem gemeinsamen Körper $K$ . Mit $s$ wird die Stufe des Tensors bezeichnet. Multilineare Abbildungen sind genau dann Tensoren, wenn jeder der Vektorräume $V_1, \dots\ , V_s$ entweder $V^ -$ oder $V$ ist. $V$ ist ein beliebiger Vektorraum über dem Körper $K$ . $V^ -$ ist der sogenannte duale Vektorraum. Dieser umfasst die Menge der linearen Abbildungen vom Vektorraum $V$ in den Körper $K$ . Beispielsweise sei der folgende Tensor angegeben: : $T:V\times V^ - \to K$ Den beispielhaften Tensor erhält man, indem man für $V_1=V$ und $V_2=V^ -$ in die allgemeingültige Definition für multilineare Abbildung einsetzt. Die Vektorräume $V$ und $V^ -$ haben dieselbe Dimension. Das kann man folgendermaßen ausdrücken: : $\mathrm(V)=\mathrm(V - )=d$ $d$ ist eine natürliche Zahl und steht für die Dimension der Vektorräume.
Basis und Koordinaten von Vektoren
Für ein tieferes Verständnis von Tensoren ist es unerlässlich, zu rekapitulieren, was eigentlich ein Vektor ist: nämlich
- ein geometrisches Objekt,
- das einem Vektorraum angehört,
- das durch Koordinaten bezüglich einer Basis (Vektorraum) dargestellt werden kann,
- das aber nicht von einer bestimmten Basis abhängt, sondern unter Basiswechsel (= Koordinatentransformation) invariant bleibt. Wir betrachten einen Vektor v aus einem n-dimensionalen Vektorraum V. Bezüglich einer gegebenen Basis ist v durch seine Koordinaten v¹, ..., vn gegeben: :v = v¹e₁ + ... + vnen. Das Hochstellen der Koordinatenindizes ist in einigen, aber nicht allen Anwendungen der Tensorrechnung üblich; es steht im Zusammenhang mit der Unterscheidung von ko- und kontravarianten Größen; mehr dazu unten.
Summationskonvention
Im weiteren Verlauf dieses Artikels verwenden wir die von Einstein eingeführte Summationskonvention: über jeden Index, der auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt, wird automatisch summiert. Statt :v = v¹e₁+ ... + vnen = $\sum_^n$ viei schreiben wir also ab sofort :v = viei.
Kovariante und Kontravariante Tensoren
Die Vektoren des dualen Vektorraums $V^ -$ sind Tensoren der Stufe 1. Sie werden als kovariante Tensoren bezeichnet. : $\mathbf^ - :V \to K$ Die Basisvektoren des dualen Vektorraums $V^ -$ seien gegeben durch: : $B^ - =(\mathbf_1,\dots\ ,\mathbf_d)$ Für einen beliebigen Vektor $\mathbf^ -$ des Dualraums gibt es folgende Koordinatendarstellung: : $\mathbf^ - = x_j \cdot \mathbf^j$ Die Koordinaten $x_i$ eines kovarianten Tensors tragen konventionsgemäß einen tiefgestellten Index i. Jeder Basisvektor stellt einen Tensor der Stufe 1 dar. Für die Basistensoren der Stufe 1 gelten die Gleichungen : $\mathbf^i \left( \mathbf_j \right)=\delta_$ für alle $i$ , $j$ Element von , wobei das sogenannte Kronecker-Delta $\delta_$ für $i = j$ den Wert 1, sonst den Wert 0 hat. Die Vektoren $\mathbf^$ des bidualen Vektorraums $V^$ sind Tensoren der Stufe 1. Sie werden als kontravariante Tensoren bezeichnet. : $\mathbf^:V^ - \to K$ Die Abbildung $\mathbf_v$ , die jedem Element $\mathbf^ -$ des Dualraums $\mathbf^ - (\mathbf)$ zuordnet, ist Element des Bidualraums. Denn $\mathbf^ - (\mathbf)$ ist Element des zugrundeliegenden Körpers K. : $\mathbf^ - \mapsto \mathbf^ - (\mathbf)$ : $\mathbf_v\left( \mathbf^ - \right):=\mathbf^ - (\mathbf)$ , Jedem Vektor $\mathbf$ kann somit genau ein Bidualvektor $\mathbf_v$ zugeordnet werden: : $\mathbf \mapsto \mathbf_v$ Es kann gezeigt werden, dass diese Zuordnung eine bijektive Abbildung zwischen dem Vektorraum $V$ und dem Bidualvektorraum $V^$ darstellt. Die Elemente des Bidualraums $V^$ werden deshalb häufig einfach mit den Elementen des Vektorraums $V$ identifiziert, d.h. es wird nicht zwischen den Elementen von $V$ und $V^$ unterschieden. Die nachfolgende Schreibweise bringt das zum Ausdruck: : $\mathbf\left( \mathbf^ - \right) =\mathbf^ - \left( \mathbf\right)$ Die Koordinaten $x_i$ eines kontravarianten Tensors tragen konventionsgemäß einen hochgestellten Index $i$ . Häufig werden die Koordinaten $x$ eines Vektors mit dem Vektor identifiziert. Die Darstellung des Vektors durch dessen Koordinaten in einer bestimmten Basis wird mit dem Vektor an sich gleichgesetzt. In dieser Sprechweise ist ein "Vektor" mit tiefgestelltem Index kovariant und ein Vektor mit hochgestelltem Index kontravariant.

Tensoren der Stufe r+s

Man definiert einen Tensor vom Grad (r,s) als multilineare Abbildung mit s Argumenten $v^s1,...v^s$ und r Argumenten $\lambda_1,...,\lambda_r.$ Die Argumente $v^1,...,v^s$ sind Elemente eines Vektorraumes $V$ und $\lambda_1,...,\lambda_r$ Argumente des zum Vektorrraum gehörenden Dualraumes $V^ -$ . Der Tensor hat dann die Form : $\begin
\underbrace \\
s\; mal
\end
\begin
\times \underbrace \rightarrow \mathbb \\
r\;mal
\end$ : $(v^1,...v^s,\lambda_1,...,\lambda_r) \rightarrow T(v^1,...v^s,\lambda_1,...,\lambda_r)$ Die Summe r + s heißt Stufe oder Rang des Tensors. Je nachdem, ob die Argumente aus einem Vektorraum sind oder aus dessen Dualraum, wird der Tensor als kovariant oder kontravariant bezeichnet. Im obigen Fall liegt ein s-fach kovarianter, r-fach kontravarianter Tensor vor.
Komponenten eines Tensors
Als Komponenten des oben beispielhaft angegebenen Tensors T werden die folgenden Größen bezeichnet: $T_i^j := T\left(\mathbf_i,\mathbf^j\right)$ Die Koordinaten eines Tensors der Stufe 1 sind die Komponenten dieses Tensors. Der Tensor T lässt sich nach den kovarianten und kontravarianten Basistensoren entwickeln, so dass gilt: $T=T_i^j \mathbf^i \otimes \mathbf_j$
Tensorprodukt
Das Produkt $e^i \otimes e_j$ zwischen dem kovarianten Tensor $e^i$ der Stufe 1 und dem Kontravarianten Tensor $e_j$ der Stufe 1 ist wiederum ein Tensor der Stufe 2. Ist d die Dimension des Vektorraums V, so gibt es $d^2$ Basistensoren $e^i \otimes e_j$ der Stufe 2. Die Verknüpfung $\otimes$ ist für jegliche Tensoren vom Rang 1 definiert. Die Verknüpfung ist eine Bilineare Funktion. Für das Symbol v $\otimes$ w gelten folgende Rechenregeln:
- $(v_1+v_2)\otimes w = v_1\otimes w + v_2\otimes w$
- $v\otimes(w_1 + w_2) = v\otimes w_1 + v\otimes w_2$
- $(\lambda v)\otimes w = \lambda\cdot(v\otimes w) = v\otimes(\lambda w)$ ( $\lambda$ ein Element des Grundkörpers K) Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze; auch daher der Name Tensorprodukt. Im Allgemeinen gilt jedoch: : $v\otimes w\not= w\otimes v$ Der Sprachgebrauch hinsichtlich des Begriffs Tensors ist nicht immer einheitlich in der Physik. Häufig wird nicht die multilineare Abbildung T als Tensor bezeichnet, sondern deren Komponenten $T_i^j$ . Die Komponenten ändern Ihre Gestalt, wenn die Basis des Vektorraums V gewechselt wird. Der Tensor T selbst bleibt gleich. Die Abbildung zwischen den neuen und alten Komponenten der Vektoren in V nennt man Koordinatentransformation. Die wohl bekanntesten Koordinatentransformationen sind die Galileitransformation und die Lorentztransformation. Tensoren können durch Skalare (Tensor der Stufe 0), Vektoren (Stufe 1), Matrizen (Stufe 2) dargestellt werden. Die Komponenten dieser Tensoren kann man sich als Zahlentupel vorstellen. Im Sprachgebrauch der Physik werden derartige Zahlentupel Tensoren genannt, wenn Sie unter einer Koordinatentransformation ein festgelegtes Verhalten aufweisen.
Basiswechsel und Koordinatentransformationen
Bei einem Basiswechsel im Vektorraum $V$ tritt an die Stelle der bisherigen Basis $E :=(\mathbf_1, \dots\ , \mathbf_n)$ eine neue Basis $E' :=(\mathbf_1', \dots\ , \mathbf_n')$ . Dem Wechsel der Basis entspricht eine bijektive lineare Abbildung $a:V \to V$ , welche jedem alten Basisvektor den neuen zuordnet, : $\mathbf_i' = a(\mathbf_i) = \mathbf_j \cdot a_$ (mit Summation über $j$ ). Die zweite Gleichheit resultiert daraus, dass wir jeden neuen Basisvektor als Linearkombination in der alten Basis ausdrücken können. Fassen wir die Koeffizienten zusammen, so erhalten wir die Matrix $A= (a_ )$ des Basiswechsels. Ein Vektor $\mathbf$ , der invariant bleiben soll, hat in beiden Basen verschiedene Koordinatendarstellungen: : $\mathbf = \mathbf_i \cdot x_i = \mathbf_j' \cdot x_j' = \mathbf_j \cdot a_ \cdot x_i'$ . Man liest ab, dass die Koordinatentransformation von $x_i$ nach $x_j'$ der Vorschrift : $x =Ax'$ beziehungsweise $x_j = a_ \cdot x_i'$ genügt. Wollen wir also die neuen mittels der alten Koordinaten ausdrücken, so müssen wir die Matrix $A$ invertieren: : $x'=A^x$ und in Indizes $x_i'=(a^)_ \cdot x_j$ . Man erkennt, dass sich Basis und Vektorkoordinaten gegenläufig transformieren:
- von $\mathbf_j$ nach $\mathbf_i'$ mit der Matrix $(a_)$ ,
- von $x_j$ nach $x_i'$ dagegen mit der inversen Matrix $\left((a^)_\right)$ . In der physikalischen Literatur wird oft das Beschriebene mit der Beschreibung gleichgesetzt, besonders in der Teilchenphysik. So wird ein Tensor mit seiner Koordinatendarstellung gleichgesetzt. Ein Tensor, dessen Koordinaten kontravariant transformieren, wird dann als kontravarianter Tensor bezeichnet, obwohl das beschriebene Objekt invariant bleibt. Vektoren werden demnach als kontravariante Tensoren erster Stufe bezeichnet, obwohl nur ihre Koordinatendarstellung es ist, als geometrische Objekte sind sie ja invariant.
Linearformen (1-Formen) als kovariante Tensoren erster Stufe
Eine Linearform ist eine lineare Abbildung aus einem Vektorraum in den zugrundeliegenden Skalarkörper. Der Vektorraum aller Linearformen über einem Vektorraum $V$ ist dessen Dualraum $V^ -$ . Wenn eine bestimmte Basis $\mathbf_1, \dots\ ,\mathbf_n$ von $V$ gegeben ist, dann kann man in kanonischer Weise eine Basis $\mathbf^1, \dots\ ,\mathbf^n$ von $V^ -$ wählen, so dass gilt: : $\mathbf^i(\mathbf_j) = \delta_$ (wobei das Kronecker-Delta $\delta_$ für $i=j$ den Wert 1, sonst den Wert 0 hat). Eine Linearform : $\mathbf = f_i \cdot \mathbf^i$ , auf einen Vektor $\mathbf$ angewandt, liefert dann : $\mathbf(\mathbf) = f_i \cdot \mathbf^i (v^j \cdot \mathbf_j) = f_i \cdot v^j \cdot \mathbf^i (\mathbf_j) = f_i \cdot v^j \cdot \delta_ = f_i \cdot v^i$ . Damit die Beziehungen $\mathbf^i(\mathbf_j) = \delta_$ und $\mathbf(\mathbf)=f_i \cdot v^i$ unabhängig von der Wahl bestimmter Basen gelten, ist zu fordern: Bei einem Basiswechsel im Vektorraum $V$ transformieren
- die Basisvektoren $\mathbf^i$ des Dualraums $V^ -$ kontravariant, und
- die Koeffizienten $f_i$ einer Linearform $f$ kovariant, wie wir es in der Notation durch Hoch- beziehungsweise Tiefstellen der Indizes schon vorweggenommen haben. Eine Linearform, die diese Transformationseigenschaften aufweist, heißt 1-Form oder kovarianter Tensor erster Stufe oder einfach kovarianter Vektor.
Matrizen und Tensorprodukte
Wir können einer beliebigen quadratischen Matrix $B$ ein invariantes Objekt, nämlich ein Skalar, zuordnen, indem wir mit zwei Koordinatenvektoren $x$ und $y$ das Produkt : $x^t \cdot B \cdot y=b_ \cdot x^i \cdot y^j$ bilden. Drücken wir es in den von den Koordinaten beschriebenen invarianten Vektoren $\mathbf = \mathbf \cdot x$ und $\mathbf = \mathbf \cdot y$ aus, können wir das invariante Objekt ablesen, welches $A$ zuzuordnen ist: : $x^t \cdot B \cdot y=(\mathbf E^v)^tB\mathbf E^w=b_\cdot e^i(v) \cdot e^j(w)$ . Wir erhalten also eine Bilinearform $b:V \times V \to K$ , man schreibt sie als : $b=b_ \cdot e^i\otimes e^j$
Verhalten von Tensorkomponenten unter Koordinatentransformation
Für die Koordianten bzw. Komponenten ( $T^i$ ) eines Kontravarianten Tensors der Stufe 1 gilt: : $\bar^i = T^r\frac.$ Für die Koordianten bzw. Komponenten ( $T_i$ ) eines Kovarianten Tensors der Stufe 1 gilt: : $\bar_i = T_r\frac.$ Wobei $\bar^i=\fracx^r$ eine beliebige Koordinatentransformation darstellt. Für einen beliebigen Tensor höherer Stufe transformieren sich die Komponenten auf folgende Weise: : $\bar^_ =
T^_
\frac
\frac
...
\frac
\frac
\frac
...
\frac.$ Es ist nochmals zu betonen, dass der eigentliche Tensor T invariant unter Koordinatentransformation ist. In einigen Lehrbüchern werden die Komponenten Tij eines Tensors als "Tensor" bezeichnet. Als "Tensor" wird dann jegliche inidizierte Größe angesehen, die sich wie oben dargestellt unter Koordinatentransformationen verhalten. Das Transformationsverhalten ist damit konstitutiv für den Tensorcharakter. ---- Für Anwendungen in der Statistik, speziell für multivariate Verfahren, wird das Tensorprodukt von Spaltenvektoren und diese transformierender Matrizen benötigt. Für diesen Zweck wird das Kronecker-Produkt von Matrizen eingesetzt. Diesem liegt zugrunde, dass aus einem Multiindex durch alphabetische Anordnung ein einfacher Index erzeugt wird, z.B. wenn das Produkt eines zwei- und eines dreidimensionalen Vektors gebildet wird, so wird dem Indexpaar (i,j) der einfache Index 3i+j-3 zugeordnet, d.h. : $a\otimes b:=\begina_1b\\a_2b\end
:=(a_1b_1,a_1b_2,a_1b_3,\;a_2b_1,a_2b_2, a_2b_3)^t$ . Im Kroneckerprodukt zweier Matrizen wird dieses Verfahren in beiden Dimensionen separat angewandt.
Siehe auch

- Tabelle mathematischer Symbole Kategorie:Algebra Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Theoretische Physik ja:テンソル

Welle (Technik)

Eine Welle ist ein Maschinenelement, das zum Weiterleiten von Drehbewegungen und Kräften, sowie zur Lagerung von rotierenden (sich drehenden) Teilen Verwendung findet. Lagerung Wellen übertragen im Unterschied zu Achsen ein Drehmoment. Sie werden daher auch auf Torsion beansprucht. In der mechanischen Konstruktion ist nicht nur die Welle an sich, sondern auch die Welle-Nabe-Verbindung sorgfältig auszulegen. Die Technik kennt diverse Sonderbauformen von Wellen, auf die im Folgenden näher eingegangen wird.

Hohlwelle

Hohlwellen werden vor allem eingesetzt, wenn Gewichtseinsparung und/oder Platzeinsparung aus konstruktiven oder funktionalen Gründen dies erfordern. Im Inneren von Hohlwellen können zum Beispiel auch andere Bauteile, weitere Wellen oder Achsen untergebracht werden. Sie sind allerdings aufwändiger in der Fertigung, und ihr Einsatz wird durch physikalische Gesetzmäßigkeiten begrenzt. Eine weit verbreitete Anwendung ist die Kardanwelle an Automobilen. Bei Unterschreitung einer bestimmten Wandstärke und Überschreitung einer gewissen Länge im Verhältnis zum Durchmesser und zum angreifenden Drehmoment werden sie (auch abhängig vom Material) instabil. Auch die Art der überwiegenden Belastung (gleichmäßig in einer Drehrichtung oder häufig wechselnd in Richtung und Stärke) muss berücksichtigt werden. Da das Gesamtdrehmoment als Hebelkraft tangential am Umfang einer Welle angreift, ist der Anteil des übertragenen Moments umso geringer, je näher er am Mittelpunkt des Querschnitts (der Drehachse) liegt. Im Mittelpunkt selbst beträgt das Drehmoment Null. Deshalb ist es möglich, Wellen mit nur geringfügiger Einschränkung des übertragbaren Drehmoments bei gleichem Außendurchmesser (Umfang) hohl - ähnlich einem Rohr - zu gestalten. Die Einschränkung des Drehmoments wird teilweise kompensiert durch die Material- und Gewichtsreduktion und die damit verbundene Verfügung von zusätzlicher Antriebsenergie, die sonst zum Antrieb der größeren Masse einer Vollwelle gebunden wäre.

Biegsame Welle

Biegsame Wellen finden Verwendung, wenn das anzutreibende Element beweglich ist (z.B. handgeführte Geräte) und die Antriebsquelle nicht mitbewegt werden kann oder soll. Sie bestehen aus mehreren Lagen entgegengesetzt schraubenförmig umeinander gewundener Drähte, die in einem Metallschutzschlauch rotieren. Die Schmierung erfolg mit Fett. Biegsame Wellen haben eine Vorzugsdrehrichtung, die von der Richtung der obersten Drahtlage abhängt. Bei entgegengesetzter Drehrichtung können nur etwa 40-70% der Leistung übertragen werden. Die Anschlussmaße sind in DIN 42995 genormt. Anwendungen: z.B. Feinmechanikergeräte (Ausnahme: Die Bohrer beim Zahnarzt werden in der Regel pneumatisch (ohne flexible Welle) angetrieben.)

Kurbelwelle

Kurbelwellen werden verwendet, um eine rotatorische (drehende) Bewegung in eine translatorische (geradlinige) Bewegung oder umgekehrt umzuwandeln. Die bekannteste Anwendung ist im Kolbenmotor.

Gelenkwelle

Kolbenmotor Gelenkwellen dienen:
- zur Übertragung von Drehmomenten bei nicht fluchtenden Drehachsen
- zur Übertragung von Drehmomenten bei sich gegeneinander bewegenden Teilen
- zum Längenausgleich Gelenkwellen werden eingesetzt, wenn flexible Kupplungen nicht mehr ausreichen oder sehr große Leistungen übertragen werden müssen. Sehr bekannt ist die Kardanwelle vor allem im Kraftfahrzeugbereich.

Wellenzapfen

Ein abgesetztes Wellenende, auf dem ein rotierendes Bauteil befestigt ist, wird Wellenzapfen genannt.

Siehe auch

- Kurbel
- Getriebe
- Wellenturbine Kategorie:Welle (Technik)Kategorie:Maschinenelement

Biegemoment

Ein Biegemoment entsteht, wenn eine Kraft (durch Lasten) auf ein Bauteil (einen Balken oder einen Stab) wirkt. Es ist die Summe der links oder rechts an einem Schnitt durch das Bauteil angreifenden Momente (Drehmomente) aller Kräfte. Rechnerisch ist ein Moment das Produkt aus Kraft
- Hebelarm und hat deshalb die physikalische Einheit Nm (Newtonmeter). Der Hebelarm (eine Länge) steht senkrecht auf der Kraftrichtung. Mechanische Arbeit (=Energie) ist ebenfalls als Kraft mal Weglänge definiert und hat deshalb die gleiche Einheit wie ein Moment, jedoch haben hier Kraft und Weg die gleiche Richtung. Ein Biegemoment ist bezogen auf eine Biegeachse (die neutrale Faser), die in der Regel die Schwerachse des Querschnitts ist und rechtwinklig zur Lastrichtung steht. Die daraus resultierenden Kräfte erzeugen auf der einen Seite des Balkens oder Stabes eine Zugspannung und auf der anderen Seite eine Druckspannung. Beide sind Normalspannungen im Gegensatz zu Schubspannungen. Die Stabachse wird durch ein Biegemoment verkrümmt. Ein Biegemoment versucht einen Stab zu verbiegen, während ein Drehmoment (oder Torsionsmoment) einen Stab auf Torsion beansprucht und zu verdrehen versucht, wie z.B. ein Schraubschlüssel eine Schraube. siehe auch:
- Drehmoment
- Kragträger Kategorie: Technische Mechanik Kategorie: Baustatik

Torsionsmoment

Das Torsionsmoment M_T ist eine Bezeichnung für ein Drehmoment in der Technischen Mechanik. Es tritt zum Beispiel in Wellen auf, die von einem Motor gegen einen Widerstand angetrieben werden. Es wird unter der Annahme errechnet, dass sich Querschnitte bei der Torsion nicht verwölben (eben bleiben) und sich als Ganzes verdrehen (keine Verzerrung). Wird ein (runder) Querschnitt verdreht, so tritt ein Drillwinkel auf

\vartheta_

auf. Demnach ist

\vartheta'_ =  =

, wobei

\gamma

der Scherwinkel ist. Das Torsionsmoment ergibt sich als

M_ = G I_ \vartheta'_

mit
- G: Schubmodul
- I_P: polares Flächenträgheitsmoment des Querschnitts und
-

\vartheta'_

als Verdrillung Ebenso lässt sich für die Verdrillung schreiben:

\vartheta'_ =

Für den Sonderfall des Torsionsstabes, bei dem I_P und M_T konstant sind, gilt die Formel

\vartheta_ =

siehe auch: Direktionsmoment Kategorie:Technische Mechanik

Drehmoment

Als Drehmoment bezeichnet man die physikalische Größe, die bei der Beeinflussung einer Drehbewegung wirkt.

Definition

\vec F_1

\vec F_2=-\vec F_1

\vec F_1

und

\vec F_2

auch der Abstand der beiden Punkte, an denen die Kräfte angreifen, von Bedeutung. Der Abstand

\vec r

ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft

\vec F_2

zum Angriffspunkt von

\vec F_1

zeigt. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente

r'

von

\vec r

bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft

\vec F_1

(oder

\vec F_2

) steht.

r'

ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken. Der Betrag des Drehmoments ist dann das Produkt von

|\vec F_1|

mit

r'

, und die Richtung des Drehmoments ist senkrecht zu der Ebene, die durch die Kraft

\vec F_1

und den Abstandsvektor

\vec r

\vec M

die Definition: :

\vec M =\vec r\times\vec F_1

. Die physikalische Dimension des Drehmoments ist damit das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat es die (abgeleitete) Maßeinheit Newtonmeter (

\mathrm

D'Alembertsches Prinzip

Wirkt auf einen Körper eine von Null verschiedene resultierende Kraft, z.B. weil nur eine einzige Kraft

\vec F_1

\vec F_t = -m\vec a

berücksichtigt wird. Wenn die Wirklinie der Kraft

\vec F_1

nicht durch den Schwerpunkt geht, dann bilden

\vec F_1

und

\vec F_t

\vec F_1

sowohl eine Beschleunigung als auch ein Drehmoment

\vec M =\vec r\times\vec F_1

und damit eine Winkelbeschleunigung (Beispiel: Anschneiden eines Balles durch seitliches Treten). Siehe auch: Hauptartikel D'Alembertsches Prinzip

Reale Körper

Beispiel

Vergleich mit der Translationsbewegung

J

\frac

) handelt, z.B.

\dot

, der zeitlichen Änderung des Drehimpulses:

\vec M=\dot\vec L=\frac

Unterschiedliches Auftreten des Drehmoments

Weblinks

- [http://www.lorenz-messtechnik.de/artikel/entw-dre.htm Entwicklung und Zukunft der Drehmomentmesstechnik]
- [http://www.e31.de/torque.html Drehmoment und Leistung beim Auto]

Siehe auch

- Moment Kategorie:Mechanik ja:力のモーメント ms:Tork

Kategorie:Mechanik

Die Mechanik als Überbegriff beinhaltet alle grundlegenden Begriffe, die in den meisten ihrer Unterkategorien Verwendung finden. Dazu gehören Impuls, Kraft, Arbeit, Potenzial. Des Weiteren werden hier die verschiedenen Untergebiete eingeordnet. Sätze, wie die Impulserhaltung und die Drehimpulserhaltung gehören in die klassische Mechanik. Technisch-angewandte Konzepte gehören zur technischen Mechanik. Kategorie:Physik Kategorie:Technik ja:Category:力学 ko:Category:역학

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