:: wikimiki.org ::

Standsicherheit

Standsicherheit

Die Standsicherheit wird im Bauingenieurswesen als Quotient zwischen den aufnehmbaren und den vorhandenen Beanspruchungen eines Tragwerks berechnet. Im Rahmen von Normen wird für bestimmte Standsicherheitsnachweise eine erforderliche Standsicherheit verlangt. Zum Nachweis der Standsicherheit müssen verschiedene Versagensmechanismen einzeln nachgewiesen werden. Die Versagensmechanismen können in Systemversagen und örtliches Versagen untergliedert werden. Bei einem Systemversagen versagt das Gesamtsystem. Ein Beispiel für ein Systemversagen ist das Kippen einer Wand. Bei einem örtlichen Versagen tritt an einem örtlich begrenzten Bereich eine für das verwendete Material zu große Beanspruchung auf. Beispielsweise wird die maximal aufnehmbare Spannung für eine Mörtelfuge in einer Mauerwerkswand überschritten. Dies kann zu unerwünschten Rissen in der Wand führen. Je nach Tragreserven im Gesamtsystem kann ein örtliches Versagen auch zu einem Systemversagen führen. Die Berechnung der Beanspruchungen (i.d.R. Spannungen) erfolgt über die Lösung von Differentialgleichungen. In der Regel können die Differentialgleichungen nicht exakt gelöst werden. Es werden daher physikalische und/oder numerische Näherungslösungen ermittelt. Ein Beispiel für eine physikalische Näherung ist die Plattentheorie, bei der das Tragwerk einer Decke über Zustandsgrößen für eine Fläche ermittelt werden. Ein Beispiel für ein numerisches Näherungsverfahren ist die Finite-Elemente-Methode (FEM). Ein Beispiel für ein einfaches Verfahren zur Standsicherheitsberechnung ist das Kragträgerverfahren, das mit Balkentheorie auskommt. Siehe auch: Teilsicherheitskonzept Kategorie:Bauingenieurwesen

Quotient

In der Mathematik und in den Naturwissenschaften bezeichnet der Quotient ein Verhältnis von zwei Größen zueinander, also das Ergebnis einer Division. Der Quotient von zwei ganzen (natürlichen) Zahlen ist immer eine rationale Zahl und kann als Bruch geschrieben werden. Ein Quotient dient oftmals der Einordnung eines Wertes in einen Gesamtmaßstab so z.B. der Intelligenzquotient, der die mit einem Intelligenztest ermittelte Zahl für eine Person mit der seiner Altersgruppe entsprechenden "durchschnittlichen Intelligenz" in Beziehung setzt. Die Zahl 100 steht dabei für den Durchschnitt. Verhältnisse werden häufig in Prozent angegeben, indem das Verhältnis so normiert (also erweitert oder gekürzt) wird, dass der Nenner 100 ist. Besondere Verhältnisse in diesem Sinne sind:
- Die Steigung als Verhältnis des Wertzuwachses auf der zweiten Koordinatenachse zum Wertzuwachs auf der ersten Koordinatenachse.
- Allgemeiner: Die Ableitung als Verhältnis zweier Differenziale.
- Die trigonometrischen Funktionen.
- Der Maßstab als Verhältnis zweier Längen
- Der Radius als das Doppelte des Verhältnisses zwischen Kreisfläche und Kreisumfang
- Die Fraktale Dimension der Chaostheorie als Verhältnis zweier Logarithmen

Proportionen

Als Verhältnisgleichungen oder Proportionen werden Gleichungen bezeichnet, die zwei Verhältnisse gleichsetzen. Sie haben also die Form a÷b = c÷d. a und c heißen auch Vorderglieder, b und d Hinterglieder der Proportion. Darüber hinaus heißen a und d Außenglieder sowie b und c Innenglieder. Die Proportion kann durch Kreuzmultiplikation in eine Gleichung der Form a·d = c·b umgeformt werden. Darüber hinaus gelten die Gesetze der korrespondierenden Addition und Subtraktion:

Gesetze der korrespondierenden Addition und Subtraktion

Es sei die Proportion a÷b = c÷d gegeben. Dann gelten auch die Proportionen :

\frac=\frac

und

\frac=\frac

und

\frac=\frac

Beispiele

- Die Definition des Goldenen Schnitts
- Der Sinussatz
- Die Strahlensätze
- Das Brechungsgesetz der Optik Kategorie:Arithmetik ja:比

Norm

Eine Norm ist
- allgemeine Bedeutung: eine als verbindlich anerkannte Regel oder Richtschnur, Leitfaden;
- der Sinn eines Normsatzes;
- ein von einer Normungsorganisation geschaffener Standard, siehe auch Normung;
- Recht: eine Rechtsnorm als eine gesetzliche Vorschrift (Gesetz, Verordnung, Richtlinie, Satzung);
- Mathematik (siehe auch Normalisierung (Mathematik)):
- Vektornorm: eine Verallgemeinerung der Begriffe Absolutbetrag einer Zahl und Länge eines Vektors für Elemente beliebiger Vektorräume: normierter Raum;
- Körpernorm: in der Algebra eine kanonische multiplikative Abbildung aus einem Erweiterungskörper in den zugehörigen Grundkörper, siehe Norm (Körpererweiterung);
- Soziologie: eine Werteordnung innerhalb einer Gesellschaft (Gesellschaftliche Norm)
- in einer Planwirtschaft zu leistende Arbeit, siehe Arbeitsnorm;
- in der Planwirtschaft der DDR eine Kennziffer, siehe Normativ (DDR). Kategorie:Nachricht

Spannung

Unter Spannung versteht man
- in der Psychologie
- eine erregte Erwartung
- ein feindseliges Verhältnis
- in der Dramatik
- Ein Gefühl der Zuschauer oder Leser eines Werkes, siehe Suspense.
- in der Physik
- eine Kraft im Innern eines elastischen Körpers, siehe Spannung (Mechanik).
- ein elektrisches Potentialgefälle, siehe elektrische Spannung. ko:장력

Differentialgleichung

Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit DGL) ist eine Gleichung, die die Ableitungen einer Funktion enthält. Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden. Einige typische Beispiele sind:
- in der Physik verschiedenste Arten von Bewegungen, von Schwingungen oder das Belastungsverhalten von Bauteilen,
- in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper und die Turbulenzen im Innern der Sonne,
- in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum, bei Strömungen oder in Muskeln,
- in der Chemie die Reaktionskinetik von Reaktionen.

Lösungsmethodik von Differentialgleichungen

Um eine DGL zu lösen (in diesem Kontext spricht man auch von integrieren, bei der Lösung auch von Integral), muss eine Funktion

y

gefunden werden, die mit ihren Ableitungen der Gleichung genügt. Die dazu notwendige Methodik ist für jeden Gleichungstyp verschieden (siehe Beispiele unten) und beschäftigt die Mathematiker seit dem 17. Jahrhundert. Auch die Eigenschaften dieser Lösung(en) hängen vom Gleichungstyp ab - z.B. die Frage, ob es Mehrdeutigkeiten gibt oder ob überhaupt eine Lösung existiert. Als einfaches, lineares Beispiel möge die Differentialgleichung :

y

+ y = 0 \, \! dienen. Die Suche nach der Funktion, welche die DGL erfüllt, kann nach einem Standardverfahren erfolgen und ergibt die allgemeine Lösung : $y = A \cos + B \sin \, \!$ , worin die Konstanten A, B aus den Randbedingungen folgen. Wenn eine längere DGL linear ist, wird sie in kürzere Gleichungen zerlegt und deren einzelne Lösungen addiert. Dieses Verfahren wird oft auch als Trennung der Variablen bezeichnet. Nichtlineare Gleichungen können zwar nicht auf diese einfache Art zerlegt werden, doch findet man verschiedene Techniken in Formelsammlungen oder in mathematischen Computerprogrammen. Nicht jede Differentialgleichung hat eine analytische Lösung, gerade unter den nichtlinearen Differentialgleichungen findet man viele, die nicht integrabel sind. Oft werden auch Lösungen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung gesucht, die auf dem Rand des Definitionsbereiches bestimmte Funktionswerte annehmen sollen. Diese wichtige Klasse von Problemstellungen wird unter dem Begriff Randwertprobleme (RWP) oder Randwertaufgabe (RWA) behandelt.
Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
Die Haupttypen von Differentialgleichungen sind # gewöhnliche Differentialgleichungen (engl. ordinary differential equations, ODEs): In der Gleichung tauchen nur Ableitungen nach einer Variablen auf # partielle Differentialgleichungen (engl. partial differential equations, PDEs): In der Gleichung tauchen Ableitungen nach mehreren Variablen auf. # Seltener kommen die differentiell-algebraischen Gleichungen (engl. differential algebraic equations, DAEs) vor, bei denen zusätzlich zur Differentialgleichung noch rein algebraische Nebenbedingungen eingebracht werden. Die in der Differentialgleichung gesuchte Funktion f kann von einer Variablen x oder mehreren (x = (x₁, x₂, ..., x_n) in Vektorschreibweise) abhängen. Im ersten Falle spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im letzteren Falle von einer partiellen Differentialgleichung. Hierbei ist implizit angenommen, dass Ableitungen nach allen vorkommenden Variablen auftreten; andernfalls spricht man von Parametern. Aus dem Englischen kommend werden die Abkürzungen ODE (ordinary differential equation) und PDE (partial differential equation) für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen benutzt. Weiterhin ist es in der Theorie der Differentialgleichungen üblich, auch Systeme von Differentialgleichungen als "Differentialgleichung" aufzufassen. Solche Systeme liegen vor, wenn in mehreren Gleichungen gleichzeitig mehrere Funktionen und deren Ableitungen zusammenwirken.
Beispiele von Differentialgleichungen
Beispiele von gewöhnlichen Differentialgleichungen Beispiele von partiellen Differentialgleichungen
Siehe auch

- Integralgleichung, dynamisches System, Chaostheorie, Harmonische Schwingung, Stochastische Differentialgleichung
- Anfangswertproblem, Randwertproblem
Literatur

- L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2, Viewegs Fachbücher der Technik, Wiesbaden, 2001, ISBN 3-528-94237-1
Weblinks

- [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525 MathePlanet: Differentialgleichungen Anleitungen zum Lösen diverser Differentialgleichungen mit Beispielen]
- [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs16/ Mathematik-Online Kurs zum Thema Differentialgleichung der Uni Stuttgart] Kategorie:Theoretische Physik ja:微分方程式 ko:미분방정식 th:สมการเชิงอนุพันธ์

Plattentheorie

Die Plattentheorie beschreibt die Eigenschaften von Platten in der Technischen Mechanik. Das Modell der Platten enthält gegenüber realen Platten einige Festlegungen und Vereinfachungen.
- Die Dicke ist klein im Vergleich zur Ausdehnung.
- Die Größe der Verschiebungen ist klein.
- Die Verschiebung erfolgt nur senkrecht zur Plattenebene. Die zur Mittelfläche verlaufenden Verschiebungskomponenten sind vernachlässigbar klein.

Siehe auch

- Scheibentheorie
- Schalentheorie Kategorie:Elastostatik

Finite-Elemente-Methode

Die Finite-Elemente-Methode ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung, insbesondere elliptischer, partieller Differentialgleichungen mit Randbedingungen.

Allgemeines Vorgehen

Das untersuchte Lösungsgebiet

G

wird zunächst in Teilgebiete, die finiten Elemente eingeteilt. :

G = \sum_^m G_e

bzw.

G = \bigcup_^m G_e

Innerhalb des Finiten Elements werden für die gesuchte Lösung je

n

Ansatzfunktionen definiert, die nur auf endlich vielen der Teilgebiete ungleich Null sind. Durch eine Linearkombination der

n

Ansatzfunktionen innerhalb des Elementes werden die möglichen Lösungen der numerischen Näherung festgelegt. :

y|_ \approx \sum_^n c_ \psi_

Die Differentialgleichungen und die Randbedingungen werden mit Gewichtungsfunktionen multipliziert und über das Lösungsgebiet integriert. Das Integral wird durch eine Summe über einzelne Integrale der Finiten Elemente ersetzt, wobei die Integration in der Regel durch eine näherungsweise numerische Integration ausgeführt wird. Da die Ansatzfunktionen nur auf wenigen der Elemente ungleich Null sind, ergibt sich ein dünnbesetztes, häufig sehr großes, lineares Gleichungssystem, bei dem die Faktoren der Linearkombination unbekannt sind. Dieses Gleichungssystem könnte man zwar prinzipiell direkt (zum Beispiel mit dem gaußschen Eliminationsverfahren) lösen. Da der Berechnungsaufwand dort aber bei

N

Gleichungen

O(N^3)

beträgt, beim Lösen die dünnbesetzte Struktur, die sich effizient speichern lässt, verloren geht und die Löser mit der schlechten Kondition des Gleichungssystems nicht gut umgehen können, verwendet man im allgemeinen iterative Löser, die schrittweise eine Lösung verbessern. Einfache Beispiele dafür sind das Jacobi- und Gauss-Seidel-Verfahren, praktisch werden aber eher Mehrgitterverfahren oder vorkonditionierte Krylow-Unterraum-Verfahren, wie das Verfahren der konjugierten Gradienten, verwendet. Aufgrund der Größe der Gleichungssysteme ist manchmal der Einsatz von Parallelrechnern nötig. Es gibt heute eine Vielzahl von kommerziellen Computerprogrammen, die nach der Methode der Finiten Elemente arbeiten.

Variationsformulierung

Eine Variationsformulierung ist folgendes Problem: Gegeben sei ein Hilbertraum

H

, eine Funktion

f \in H':= \

, sowie eine auf

H

stetige und elliptische Bilinearform

a(\cdot,\cdot)

, so heißt

u \in H

Lösung des Variationsproblems, wenn :

a(u,v) = f(v)\ \forall v \in H

. Existienz und Eindeutigkeit der Lösung

u

liefert der Satz von Riesz-Fischer und das Lemma von Lax-Milgram.

Herleitung der Methode

Wir wissen, dass der Raum

L^2(\Omega):=\

ein Hilbertraum ist. Ausgehend hiervon kann man die Sobolevräume

H^s(\Omega)

über die sogenannte schwache Ableitung definieren. Das Problem

a(u,v)=f(v)

kann man als eine Variante einer partiellen Differentialgleichung auf einem Gebiet

\Omega

auffassen. Das Poissonproblem als Beispiel: :

-\Delta u(x) = f(x) \ \forall x \in \Omega

u(x) = 0 \ \forall x \in \partial \Omega

wobei hier

\Delta

den Laplace-Operator bezeichnet. Mit Multiplikation von unendlich oft differenzierbaren und stetigen Funktionen

\psi \in C^_0(\Omega)

ergibt mit Integration :

\Leftrightarrow -\int_\Delta u \psi dx = \int_f \psi dx \ \forall\psi \in C^_0(\Omega)

eine partielle Integration (Satz von Green), sowie die Nullrandbedingungen für

\psi

liefern dann :

\Leftrightarrow \int_\nabla u \nabla \psi dx = \int_f \psi dx \ \forall\psi \in C^_0(\Omega)

Nun ist

a(u,\phi):=\int_\nabla u \nabla \psi dx

eine elliptische und stetige Bilinearform auf

H^1_0(\Omega):=\overline^

, sowie die rechte Seite

(f,\psi )_=f(v)

nach dem Satz von Riesz eine stetige Linearform auf

H^1_0(\Omega)

Besitzt der betrachtete Funktionenraum/Hilbertraum eine endliche Basis, so kann man ein lineares Gleichungssystem aus der Variationsformulierung gewinnen. Für Funktionenräume entscheidet die Wahl der Basis über die Effizienz des Verfahrens. Gängig sind hierbei die Verwendung von Splines mit Triangulierungen, sowie in bestimmten Fällen die diskrete Fouriertransformation (aufspaltung in Sinus und Cosinus). Aufgrund von Flexibilitätsüberlegungen bezüglich der Geometrie des Gebietes

\Omega

wird in der Regel folgender Ansatz gewählt. Man diskretisiert das Gebiet

\Omega

, in dem man es in Dreiecke zerteilt und man benutzt Splines

\lambda_p(x)

, assoziiert mit den Eckpunkten p, um den endlichdimensionalen Funktionenraum auf

\Omega

aufzuspannen. Die Splines erfüllen an festgelegten Punkten auf den Dreiecken

\lambda_p(q) = \delta_

. Damit kann man dann eine diskrete Funktion

u_h(x)

darstellen durch :

u_h(x) = \sum_p u_p\lambda_p(x)

mit

u_p

den Koeffizienten bezüglich der Basisdarstellung. Aufgrund der endlichen Basis muss man nicht mehr gegen alle

\psi \in H^1_0

testen, sondern nur noch gegen alle Basisfunktionen, die Variationsformulierung reduziert sich aufgrund der Linearität auf :

a(u_h, \lambda_q) = \sum_p u_p a(\lambda_p, \lambda_q) = (f, \lambda_q) \ \forall q

Also haben wir ein lineares Gleichungssystem zum Lösen gewonnen :

Au=f

mit :

A_ = a(\lambda_p, \lambda_q)

und :

f_q = (f, \lambda_q)

Dieses Resultat erhält man mit jeder endlichen Basis des Hilbertraumes.

Diskretisierung

Die gegebene Aufgabe wird diskretisiert, indem ganz allgemein das Grundgebiet in einfache Teilgebiete, die so genannten Elemente, zerlegt wird. Bei gewissen Aufgabenstellungen ist die Aufteilung in Elemente durch das Problem bereits weitgehend vorgegeben. Das ist beispielsweise bei einem räumlichen Fachwerk der Fall, bei welchem die einzelnen Stäbe die Elemente der Konstruktion bilden. Dasselbe gilt etwa auch bei Rahmenkonstruktionen, wo die einzelnen Balken oder unterteilte Balkenstücke die Elemente der Aufgabe darstellen. Im Fall von zweidimensionalen Problemen wird das Grundgebiet in Dreiecke, Parallelogramme, krummlinige Dreiecke oder Vierecke eingeteilt. Selbst wenn nur geradlinige Elemente verwendet werden, erreicht man mit einer entsprechend feinen Diskretisierung eine recht gute Approximation (Annäherung) des Grundgebietes. Krummlinige Elemente erhöhen selbstverständlich die Güte der Annäherung. Jedenfalls erlaubt diese Diskretisierung eine äußerst flexible und auch dem Problem angepasste Erfassung des Grundgebietes. Allerdings muss darauf geachtet werden, dass Paare von sehr spitzen Winkeln in den Elementen vermieden werden, um numerische Schwierigkeiten auszuschließen. Dann wird das gegebene Gebiet durch die Fläche der approximierenden Elemente ersetzt. Bei räumlichen Problemen erfolgt eine Diskretisierung des dreidimensionalen Gebietes in Tetraederelemente, Quaderelemente oder andere dem Problem angepasste, möglicherweise auch krummflächig berandete Elemente.

Element-Ansatz

In jedem der Elemente wird für die gesuchte Funktion, bzw. allgemeiner für die das Problem beschreibenden Funktionen, ein problemgerechter Ansatz gewählt. Im besonderen eignen sich dazu ganze rationale Funktionen in den unabhängigen Raumkoordinaten. Für eindimensionale Elemente (Stäbe, Balken) kommen Polynome ersten, zweiten, dritten und gelegentlich sogar höheren Grades in Frage. Bei zweidimensionalen Problemen finden lineare, quadratische oder höhergradige Polynome Verwendung. Die Art des Ansatzes hängt dabei einerseits von der Form des Elementes ab und andererseits kann auch das zu behandelnde Problem den zu wählenden Ansatz beeinflussen. Denn die Ansatzfunktionen müssen beim Übergang von einem Element ins benachbarte ganz bestimmte problemabhängige Stetigkeitsbedingungen erfüllen. Die Stetigkeitsanforderungen sind häufig aus physikalischen Gründen offensichtlich und aus mathematischen Gründen auch erforderlich. Zum Beispiel muss die Verschiebung eines zusammenhängenden Körpers in einer Richtung beim Übergang von einem Element zum anderen stetig sein, um die Kontinuität des Materials zu gewährleisten. Im Fall der Balken- oder Plattenbiegung sind die Stetigkeitsanforderungen höher, da dort aus analogen physikalischen Gründen sogar die Stetigkeit der ersten Ableitung bzw. der beiden ersten partiellen Ableitungen gefordert werden muss. Elemente mit Ansatzfunktionen, welche den Stetigkeitsbedingungen genügen, heißen konform. Um nun die Stetigkeitsanforderungen tatsächlich zu erfüllen, muss der Funktionsverlauf im Element durch Funktionswerte und auch durch Werte von (partiellen) Ableitungen (den Knotenpunktverschiebungen) in bestimmten Punkten des Elementes, den Knotenpunkten, ausgedrückt werden. Die in den Knotenpunkten benutzten Funktionswerte und Werte von Ableitungen nennt man die Knotenvariablen des Elements. Mit Hilfe dieser Knotenvariablen stellt sich die Ansatzfunktion als Linearkombination von sogenannten Formfunktionen mit den Knotenvariablen als Koeffizienten dar. Es ist zweckmäßig, für die Knotenpunktkoordinaten neben einem elementbezogenen lokalen ein globales Koordinatensystem zu verwenden. Beide werden durch Transformationsfunktionen miteinander verknüpft. Werden für diese Transformation dieselben Formfunktionen wie für den Verformungsansatz benutzt, so sind es isoparametrische Elemente, bei Funktionen niedrigeren bzw. höheren Grades sub- bzw. superparametrische Elemente.

Formale Definition des Finiten Elementes

Ein finites Element ist ein Tripel

E = (T, \Pi, \Sigma)

mit T einem nichtleeren Shape,

\Pi

einem Raum von Ansatzfunktionen (im obigen Fall Splines oder Sinus) und

\Sigma

einer Menge von linear unabhängigen Funktionalen. Es gelte für die Funktionale, dass sie zu Funktionen der Basis assoziiert seien:

\sigma_i \in \Sigma : \sigma_i(\pi_j)=\delta_ \ j=\

So gilt für jede Funktion

v \in \Pi: v(x) = \sum_i \sigma_i(v)\pi_j

. Für Sinus als Basisfunktion im

\mathbb(R)^1

ist dann

span \ = \Pi

und die Funktionale

\sigma_i(\psi):=(sin(ix), \psi)_

. Für Splines genügt dahingegen die Punktauswertung auf den festgelegten Punkten der Dreiecke:

\sigma_p(\psi):=\psi(p)

Das Prinzip vom Minimum der potenziellen Energie

Die Knotenpunktverschiebungen werden nun aus der Bedingung ermittelt, dass im gesuchten Gleichgewichtszustand die potenzielle Energie ein Minimum hat. Das Prinzip vom Minimum der potenziellen Energie bildet eine der möglichen Variationsmethoden zur direkten Bestimmung von Steifigkeitsgleichungen finiter Elemente. Die potenzielle Energie einer Konstruktion ist die Summe aus der inneren Verzerrungsenergie (der elastischen Formänderungsenergie) und dem Potenzial der aufgebrachten Lasten (der von äußeren Kräften geleisteten Arbeit).

Anwendung

Ursprünglich wurde die Finite-Elemente-Methode zur Lösung von Festkörper-Problemen in den 1950er Jahren entwickelt, obwohl die Bezeichnung „Finite Elemente“ erst etwas später benutzt wurde (siehe unten). Vorläufer reichen aber noch viel weiter zurück. Im weiteren Verlauf der Forschung wurde die Finite-Elemente-Methode immer weiter verallgemeinert und kann nunmehr in vielen physikalischen Problemstellungen eingesetzt werden.
- Verformungs- und Spannungsberechnungen in der Statik, Dynamik und Plastomechanik
- Sickerströmungsberechnungen, Hydraulik
- Wärmeleitung, Temperaturverteilungen
- Elektromagnetik: Elektrostatik, Magnetostatik usw.

Geschichte der FEM

Die Geschichte der Finite-Elemente-Methode erschließt sich aus den Forschungen und Veröffentlichungen der folgenden Autoren (Auswahl):
- Karl Schellbach: Variationsrechnung; Lösung eines Minimalflächenproblems (1851/52)
- Kirsch (1868): Modellierung eines 3D-Kontinuums mit Quadern und Stabelementen
- Lord Rayleigh (John William Strutt) (1842–1919): On the theory of resonance. 1870
- Walter Ritz (1878–1909): neue Methode zur Lösung von Variationsproblemen, Ritz’sches Verfahren (1908/09)
- Boris G. Galerkin: Verfahren der gewichteten Residuen (1915)
- Trefftz (1926): lokal begrenzte Ansatzfunktionen; Gegenstück zum Ritz’schen Verfahren
- Ebner (1929): Schubblech als ebenes Element
- Hrennikoff (1940/41): Stabmodelle, Ersetzen von Scheiben durch Fachwerke, Platten durch Trägerroste
- Richard Courant (1888–1972): Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration(s). 1943 (Ansatzfunktionen mit lokalem Träger, elementweise Ansätze für Schwingungsprobleme)
- W. Prager, Richard Laurence Millington Synge (1914–1994): Approximation in Elasticity based on the concept of function space. 1947
- John Argyris (1913–2004): Kraft- und Verschiebungsmethode für Stabtragwerke, Matrizenformulierung (1954/55)
- M. J. Turner, Ray W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp: Stiffness and deflection analysis of complex structures. 1956 (erste Strukturberechnung von Flugzeugflügeln bei Boeing, erste Anwendung der FEM mit Computerprogramm, erste Anwendung von Flächenelementen)
- Ray W. Clough: The finite element method in plane stress analysis. 1960 (wahrscheinlich erste Verwendung des Begriffs Finite Elemente)
- Spierig (1963): Entwicklung von Dreieckelementen, Übertragung auf Schalen
- Olgierd Cecil Zienkiewicz (
- 1921), Pionier der FEM und erstes Standardwerk (Lehrbuch): The Finite Element Method (in Structural and Continuum Mechanics). 1967

Weblinks

- [http://www.cadfem.de/Geschichte_der_FEM.1930.0.html Geschichte der FEM]

FEM-Software

- [http://www.ansys.com/ ansys.com] – Offizielle Website von ANSYS, Inc.
- [http://www.dealii.org/ dealii.org] – deal.II Finite Element Software (Open Source)
- [http://www.hks.com/ hks.com] – Offizielle Website von ABAQUS, Inc.
- [http://www.z88.de/ Z88] – Open-Source-FE-Programm
- [http://www.calculix.de/ CalculiX] – Open-Source-FE-Programm Kategorie:Numerische Mathematik ja:有限要素法

Balkentheorie

Die Balkentheorie beschreibt das Verhalten von Balken unter Belastung. Sie ist ein Teilgebiete der Technischen Mechanik, speziell der Festigkeitslehre, der Elastizitätstheorie und der Statik. Zur Anwendung kommt die Balkentheorie in vielen Ingenieurwissenschaften, beispielsweise
- Bauingenieurwesen
- Maschinenbau
- Schiffbau
- Luft- und Raumfahrttechnik bzw. Flugzeugbau.

Voraussetzungen

Die Balkentheorie befasst sich mit der Berechnung von Bauteilen mit folgenden Merkmalen, die als Balken bezeichnet werden:
- Ein Balken ist ein stabförmiges Tragglied, das durch Lasten längs und quer zu seiner Achse belastet werden kann. Die Reaktion des Balkens auf die Belastungen sind Dehn- Biege-, Schub-, Wölb-, Drill- und Querverformungen verbunden mit Schnittkräften, in denen die inneren Spannungen in geeigneter Weise zusammengefasst werden.
- Solange nur die Verformung in eine Richtung (y als Funktion von x) betrachtet wird, ist die Abmessung in die dritte Dimension (z) irrelevant: die Theorie gilt in diesem Sonderfall auch für eine Platte und umfasst dabei als wichtigen Anwendungsfall das Regalbrett.
- Bei einem Balken im engeren Sinne ist die Achse im unbelasteten Zustand gerade, obwohl man auch Bögen mit einer entsprechend erweiterten Form der Balkentheorie berechnen kann.
- Ein Balken im engeren Sinne besteht aus elastischem Werkstoff, beispielsweise Stahl oder Stahlbeton, obwohl man auch viele andere Werkstoffe näherungsweise so berechnen kann, als seien sie elastisch. Ein Balken verhält sich biegesteif. Seile verhalten sich näherungsweise biegeschlaff und sind deshalb keine Balken.
- Die Belastung des Balkens erfolgt quer zu seiner Achse, so dass er sich durchbiegt. Wenn das Bauteil nur längs zu seiner Achse belastet wird (Zug/Druck, Torsion) und nicht ausknickt, nennt man es nicht Balken, sondern Stab. Wenn das Bauteil zwar nur längs belastet wird, aber bei Stabilitätsversagen seitlich ausknickt, nennt man es zwar Knickstab und nicht Knickbalken, aber es wird mit einer erweiterten Form der Balkentheorie (Theorie Zweiter Ordnung) berechnet.
- Im engeren Sinne versteht man unter einem Balken einen Euler-Bernoulli-Balken. Dabei gilt die Hypothese: Querschnitte, die ursprünglich rechtwinklig zur Nullinie sind, bleiben bei der Verformung eben. Bei reiner Biegung (M = const) bleiben die Querschnitte außerdem auch senkrecht auf der Nullinie, weil die Biegelinie dann ein Kreis ist und die Querschnittsebene mit dem Kreisradius zusammenfällt. In allen anderen Fällen ist die Querschnittsebene um den Schubwinkel gedreht. Dies wird z.B.durch eine allgemeinere und kompliziertere Balkentheorie zu erfassen versucht, nämlich die Theorie der Timoshenko-Balken. Diese berücksichtigt die Schubverformung der Querschnittsebene. Die Balkentheorie bezieht sich auch auf Bauteile, die aus einzelnen Balken zusammengesetzt sind.

Grundzüge der Theorie

Näherungsschritte

Allgemein unterscheidet man
- Balkentheorie Erster Ordnung: Es wird näherungsweise am unverformten Balken ein Balkenelement betrachtet und die Kräfte und Momente bilanziert. Sie genügt fast immer.
- Balkentheorie Zweiter Ordnung: Es wird am verformten Balken ein Balkenelement betrachtet, jedoch wird das mathematische Modell linearisiert. Sie wird für Stabilitätsprobleme benötigt, sowie für große Durchbiegungen bei Neigungswinkeln bis ca. 20°.
- Balkentheorie Dritter Ordnung: Es wird am verformten Balken ein Balkenelement betrachtet, und das mathematische Modell wird nicht linearisiert. Sie wird in Sonderfällen benötigt, bei sehr großen Durchbiegungen und Neigungswinkeln über ca. 20°.

Theorie Erster Ordnung: Statik

Timoshenko-Balken Timoshenko-Balken

statisch bestimmt

Bei statisch bestimmt gelagerten Balken lassen sich die Auflagerkräfte und Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Statisch bestimmte Balken besitzen in Längsrichtung ein festes Auflager und ein längsbewegliches Auflager oder sind an einem Balkenende eingespannt. Als "fest" bezeichnet man ein Auflager dann, wenn es horizontal gehalten wird und somit Horizontalkräfte übertragen kann. Ein bewegliches Auflager kann sich dagegen horizontal verschieben und somit keine Kräfte in dieser Richtung abtragen.

statisch unbestimmt

Bei statisch unbestimmt gelagerten Balken sind zusätzlich zu den Gleichgewichtbedingungen auch Verträglichkeitsbedingungen zu erfüllen, um die die Auflagerkräfte und Schnittgrößen bestimmen zu können. Statisch unbestimmte Balken besitzen beliebig viele Auflager oder Einspannungen. Im einfachsten Fall wird ein Balken anhand der folgenden linearen inhomogenen Differentialgleichung berechnet. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen der Durchbiegung w (in y-Richtung) und der Streckenlast (Gewicht pro Strecke) q als Funktion der Koordinate x entlang der Balkenachse her. :

EI\,w'(x) = q(x).

Die Biegesteifigkeit EI setzt sich zusammen aus dem Elastizitätsmodul E des Materials und dem Flächenträgheitsmoment I des geometrisch gegebenen Querschnitts. Letzteres berechnet sich als :

I=\int y^2 yz

. Für einen Balken mit rechteckigem Querschnitt h·b (in y- respektive z-Richtung) ist :

I=.

Rand- und Übergangsbedingungen ergeben sich aus der Art der Auflager und bestehen aus kinematischen Randbedingungen und aus dynamischen (Kräfte und Momente betreffenden) Randbedingungen. Für die dynamischen Randbedingungen ist relevant, welcher Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten besteht, nämlich Biegemoment: :

M(x) = -EI\,w

(x) Querkraft: : $Q(x) = -EI\,w(x)$ Das Biegemoment setzt sich aus Biegespannungen zusammen, dies sind in axialer Richtung wirkende Spannungen mit einer linearen Verteilung zwischen Druckfaser und Zugfaser: : $\sigma_B(z) = \frac z$ Darin ist I das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die Achse, um die das Biegemoment dreht. Den Kennwert z/I beim maximalen z (an der äußersten Faser des Querschnitts) nennt man auch Widerstandsmoment. Daraus folgt ein recht bekanntes Ergebnis: die Tragfähigkeit eines Balkens ist proportional zu I/h=bh². Widerstandsmoment Im Falle unsymmetrischer Querschnitte muss das Koordinatensystem in Richtung der Haupttägheitsachsen gedreht werden, damit man die Biegung in beiden Richtungen getrennt voneinander berechnen kann. Beispiel: wenn ein L-Profil von oben belastet wird, kann es sich auch nach vorn oder hinten durchbiegen. Nur in Richtung einer Hauptträgheitsachse biegt sich ein Balken in Richtung der Belastung und nicht quer dazu. Wie stark sich ein Balken verbiegt, hängt ferner sehr stark von der Position der Auflager ab; bei gleichmäßiger Belastung q(x)=const erhält man aus der Differentialgleichung als optimale Lagerpositionen die Bessel-Punkte.
Theorie Erster Ordnung: Dynamik
Bis hier wurde nur die Statik behandelt. Die Balkendynamik, etwa um Balkenschwingungen zu berechnen, basiert auf der Gleichung : $EI\,w'(x,t) + b\,\dot(x,t) + m\,\ddot(x,t)= q(x,t)$ Das Problem hängt hier nicht nur vom Ort x, sondern zusätzlich von der Zeit t ab. Es kommen zwei weitere Parameter des Balkens hinzu, nämlich die Massenverteilung m (in kg/m) und die Strukturdämpfung b. Wenn das Bauteil unter Wasser schwingt, beinhaltet m auch die hydrodynamische Masse, und in b kann man eine linearisierte Form der hydrodynamischen Dämpfung einbeziehen, siehe Morison-Gleichung.
Theorie Zweiter Ordnung: Knickstab
Während bisher die Kräfte und Momente näherungsweise am unverformten Bauteil bilanziert wurden, ist es im Falle von Knickstäben erforderlich, ein Balkenelement im verformten Zustand zu betrachten. Knickstab-Berechnungen basieren auf der Gleichung : $EI\,w'(x) + N\,w$ (x) = q(x) und zwar im einfachsten Fall mit q=0. Hinzu kommt die axial im Knickstab wirkende Druckkraft N, die je nach Randbedingungen die Knicklast nicht überschreiten darf, damit der Stab nicht ausknickt.

Theorie Dritter Ordnung

Ein Anwendungsfall, bei dem Balkentheorie Dritter Ordnung nötig wird, ist z.B. das Verlegen von Offshore-Pipelines von einem Wasserfahrzeug aus in großen Wassertiefen, hier nur als ebener statischer Fall wiedergegeben. Ein sehr langer Rohrstrang hängt vom Fahrzeug zum Meeresboden herunter, ist gekrümmt wie ein Seil, jedoch biegesteif. Die nichtlineare Differentialgleichung lautet hier :

EI\,\varphi

(s) - H\,\sin\varphi(s) + (ws-V) \cos\varphi(s) = 0 Die Koordinate heißt hier nicht mehr x, sondern s. Das ist die Bogenlänge entlang der Pipeline. H ist die entlang der Pipeline konstante Horizontalkomponente der Schnittkraft (Horizontalzug) und wird dadurch beeinflusst, wie stark das Fahrzeug mit seinen Ankern und dem Tensioner an der Pipeline zieht, damit sie nicht durchsackt und bricht. Der Tensioner ist eine Vorrichtung aus zwei Raupenketten, die die Pipeline an Bord einspannt und sie unter Zugbelastung hält. w ist das Gewicht pro Länge abzüglich Auftrieb. V ist eine Rechengröße, die man sich als kleine Bodenauflagerkraft vorstellen kann. Die Geometrie wird durch den Neigungswinkel $\varphi$ beschrieben, der mit der Horizontalkoordinate x(s) und der Vertikalkoordinate z(s) in folgendem Zusammenhang steht: : $\partial x(s)/\partial s = \cos\varphi(s)
\quad\quad\quad
\partial z(s)/\partial s = \sin\varphi(s)$
Geschichte
Nach qualitativen Vorarbeiten von Leonardo da Vinci wurde die Balkentheorie von Galileo Galilei begründet. Er ordnete die Neutralfläche allerdings fehlerhaft an der Unterseite des Balkens an. Knickstäbe wurden erstmals von Leonhard Euler betrachtet.
Literatur

- Gross, Hauger, Schnell: Technische Mechanik Band 1-3. Springer
- Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, 1999
- Gummert, Reckling: Mechanik. Vieweg, 1994
Weblinks

- [http://www.sandwichbau.com/German/library/biegetheorie.htm] Zur Geschichte der Biegetheorie Kategorie:Technische Mechanik

Kategorie:Bauingenieurwesen

Kategorie:Architektur und Bauwesen Kategorie:Ingenieurwissenschaft ja:Category:土木工学

Phil Brown

]] Phil Brown (born April 30 1916 in Cambridge, Massachusetts) is an American actor, who despite a long career in Hollywood, is best known for his role as Luke Skywalker's uncle, Owen Lars, in Star Wars Episode IV: A New Hope (1977). Was blacklisted in 1952 because of associaton with communist actors. Although not a communist himself relocated to London from 1953-1993.

External link

- Brown, Phil Brown, Phil

cytaty WAKACJE video poker Forex Varsovia hotel

:: RELATED NEWS ::

Maurice Bardèche
Maurice Bardèche (1907-1998) est un écrivain et polémiste français du XX siècle.

Biographie

Il naît dans une famille modeste de Dun-sur-Auron (dans le Cher) le 1 octobre 1907. Pur produit de l'élitisme républicain, il obtient, après son c

Standsicherheit

Quotient

Proportionen

Gesetze der korrespondierenden Addition und Subtraktion

Beispiele

Norm

Spannung

Differentialgleichung

Lösungsmethodik von Differentialgleichungen

Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen

Beispiele von Differentialgleichungen

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Plattentheorie

Siehe auch

Finite-Elemente-Methode

Allgemeines Vorgehen

Variationsformulierung

Herleitung der Methode

Diskretisierung

Element-Ansatz

Formale Definition des Finiten Elementes

Das Prinzip vom Minimum der potenziellen Energie

Anwendung

Geschichte der FEM

Weblinks

FEM-Software

Balkentheorie

Voraussetzungen

Grundzüge der Theorie

Näherungsschritte

Theorie Erster Ordnung: Statik

statisch bestimmt

statisch unbestimmt

Theorie Erster Ordnung: Dynamik

Theorie Zweiter Ordnung: Knickstab

Theorie Dritter Ordnung

Geschichte

Literatur

Weblinks

Kategorie:Bauingenieurwesen

Phil Brown

External link

Biographie

R03A Adrénergiques, inhalants

R03AA Agonistes des alpha- et bêta-adrénorécepteurs

R03AB Agonistes non-sélectifs des bêta-adrénorécepteurs

R03AC Agonistes sélectifs des bêta2-adrénor Read More...

R03AC Agonistes sélectifs des bêta2-adrénor

Read More...